Der grün eingezeichnete Graph ist der der Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$ von f. Man erhält diesen Graph in dem man bei allen Punkten des Graphs von f die x-Werte mit den y-Werten vertauscht. Dies entspricht einer Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden (in rot gezeichnet).

Die von dir gewählten Punkte sind wieder mit rot gezeichnet. Wenn man bei diesen Punkten die x- und y-Werte (wieder zurück) vertauscht, so entstehen die blauen Punkte, die im Idealfall wieder auf dem (blauen) Graph der Originalfunktion f liegen müssten.

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$	=	$y$	|⋅ 3
$3\left(\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\right)$	=	$3y$
$x+2$	=	$3y$	| $-2$
$x$	=	$3y-2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $3x-2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $3x-2$

Maximale Definitionsmenge

Bei einer Wurzelfunktion dürfen wir nur Werte einsetzen, so dass die Werte unter der Wurzel nicht negativ werden.

Dazu schauen wir zuerst, wann der Radikand (Term unter der Wurzel) = 0 wird:

$2x+6$	=	0	| $-6$
$2x$	=	$-6$	|:$2$
$x$	=	$-3$

Und weil das Vorzeichen beim Koeffizient vor dem x positiv ist, bleibt die Wurzel für alle x ≥ -3 größer oder gleich 0. Es gilt somit:

D = {x ∈ ℝ | x ≥ -3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$\sqrt{2x+6}$	=	$y$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2x+6$	=	${\left(y\right)}^2$

$2x+6$	=	$y^2$	| $-6$
$2x$	=	$y^2-6$	|:$2$
$x$	=	$\frac{1}{2}{y}^2-3$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\frac{1}{2}{x}^2-3$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\frac{1}{2}{x}^2-3$

Theoretisch kann man hier erkennen, dass es sich beim Graph von f um eine Parabel mit dem Scheitel bei x = -2 handelt. Somit kann man folgern, dass die Funktion für x ≥ -2 streng monoton wachsend und somit umkehrbar sein muss.

Man kann aber auch den Standardweg über die Ableitung gehen:

Wenn wir f ableiten, erhalten wir:

$3\left(x+2\right)·\left(1+0\right)+0$ = $3x+6$

Wenn wir nun f'(x) = 0 setzen, erhalten wir:

$3x+6$	=	0	| $-6$
$3x$	=	$-6$	|:$3$
$x$	=	$-2$

Und weil das die einzige Nullstelle der Ableitungsfunktion ist, und f keine Definitionslücken hat, ist f jeweils für x ≤ -2 und für x ≥ -2 streng monoton und somit umkehrbar.

Der gesuchte umkehrbare Bereich ist somit {x ∈ ℝ| x ≥ -2}.

Um nun die Umkehrfunktion zu berechnen, schreiben wir einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$\frac{3}{2}{\left(x+2\right)}^2-2$	=	$y$	| $+2$
$\frac{3}{2}{\left(x+2\right)}^2$	=	$y+2$	|⋅$\frac{2}{3}$
${\left(x+2\right)}^2$	=	$\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}$	|

1. Fall

2. Fall

Weil der (umkehrbare) Definitionsbereich der Originalfunktion f [-2;∞[ ist, dürfen ja nur x≥-2 eingesetzt werden. Deswegen ist hier nur der 2. Fall mit der positiven Wurzel relevant: x = $\sqrt{\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}}-2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $\sqrt{\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}}-2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $\sqrt{\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}}-2$

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Wurzelfunktion dürfen wir nur Werte einsetzen, so das die Werte unter der Wurzel nicht negativ werden.

Hier sieht man schnell, dass das für alle nicht-negativen x-Wert der Fall ist, somit gilt:

D = {x ∈ ℝ | x ≥ 0}

Wertemenge von f

In der Aufgabe steht, dass f auf seiner maximalen Definitionsmenge umkehrbar ist. Also kann es keine inneren Extremstellen geben, und die Extrema der Funktionswerte müssen an den Rändern liegen. Wir untersuchen deswegen die Funktionswerte an den Rändern:

Der kleinste Wert der Defintionsmenge ist 0, also setzen wir diesen in f ein:
f(0) = $\sqrt{0}+3$ = $0+3$ = $3$

Am rechten Rand des Wertebereichs gilt:
Für x → ∞ strebt f(x) = $\sqrt{x}+3$ → ∞

Die Funktionswerte bewegen sich also von $3$ bis ∞. Somit gilt für die Wertemenge W = {x ∈ ℝ | x ≥ $3$} .

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$\sqrt{x}+3$	=	$y$	| $-3$
$\sqrt{x}$	=	$y-3$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x$	=	${\left(y-3\right)}^2$

$x$

=

${\left(y-3\right)}^2$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = ${\left(x-3\right)}^2$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = ${\left(x-3\right)}^2$

Maximaler umkehrbarer Definitionsbereich

Für einen möglichst großen umkehrbaren Definitionsbereich müssen wir wissen, wo f monoton steigend und wo monoton fallend ist. Dazu betrachten wir die Ableitung:

Wenn wir f ableiten, erhalten wir:

$\text{f'(x)}=$ $2x$

Wenn wir nun f'(x) = 0 setzen, erhalten wir:

$2x$	=	0	|:$2$
$x$	=	0

Und weil das die einzige Nullstelle der Ableitungsfunktion ist, und f keine Definitionslücken hat, ist f jeweils für x ≤ 0 und für x ≥ 0 für streng monoton und somit umkehrbar.

Der gesuchte umkehrbare Bereich ist somit {x ∈ ℝ| x ≥ 0}.

Schnittpunkte

Theoretisch könnte man zuerst den Term der Umkehrfunktion bestimmen und dann die beiden Terme gleichsetzen.
Da aber beim Schnittpunkt der Graphen von Funktion und Umkehrfunktion der x- und der y-Wert immer gleich sein müssen, können wir auch einfach den Schnittpunkt des Graphen von f mit der 1. Winkelhalbierenden (y = x) berechnen (siehe auch am Schaubild rechts).

$x^2$	=	$x$	| $-x$
$x^2-x$	=	0
$x\left(x-1\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

0 ist ≥ 0 und liegt somit im gewählten umkehrbaren Bereich. Damit ist Punkt (0|0) ein gemeinsamer Punkt der Graphen von f und $\stackrel{-}{f}$.

1 ist ≥ 0 und liegt somit im gewählten umkehrbaren Bereich. Damit ist Punkt (1|1) ein gemeinsamer Punkt der Graphen von f und $\stackrel{-}{f}$.

Wir berechnen die Tangentensteigung der Umkehrfunktion über die Steigung der Originalfunktion f. Dazu brauchen wir aber erst den Punkt (x|5) auf dem Graph von f, der zum Punkt (5|x) auf dem Graph von $\stackrel{-}{f}$ symmetrisch bezüglich der ersten Winkelhalbierenden liegt:

Bestimmung des x-Werts von P(x|5)

$x^2+4x$

=

$5$

| $-5$

$x^2+4x-5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·1·\left(-5\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{16+20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{-4+\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{-4-\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-10}{2}$ = $-5$

Weil -5 < -2 ist, und somit nicht im angegeben Definitionsbereich liegt, ist also 1 der gesuchte x-Wert.

In diesem Punkt P(1|5) berechnen wir nun die Tangentensteigung:

f'(x)= $2x+4$
f'(1) = $2\cdot 1+4$ = $2+4$ = 6

Da beim Graph der Umkehrfunktion überall immer x- und y-Werte (gegenüber dem Graph von f) vertauscht sind, müssen auch beim Steigungsdreieck einer gespiegelten Tangente Zähler und Nenner vertauscht werden, so dass die gesuchte Tangentensteigung $\stackrel{-}{f}$ '(5) gerade der Kehrbruch von 6 sein muss. es gilt also:

$\stackrel{-}{f}$ '(5) = $\frac{1}{6}$ ≈ 0.17

Maximale Definitionsmenge von f

Bei einer Exponentialfunktion kann man alle Werte für x einsetzen. (e⁰=1; e^-c= $\frac{1}{e^c}$)

Für die maximale Definitionsmenge gilt somit: D = ℝ

Wertemenge von f

Der Exponent $-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}$ ist eine lineare Funktion (Gerade), die jeden Wert zwischen -∞ und ∞ annehmen kann.

Wir wissen, dass $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$ für negative betragsmäßig große Werte im Exponent der 0 sehr schnell beliebig nahe kommt und für große positive Werte (sehr schnell) gegen ∞ strebt. Somit ist jeder Funktionswert im Bereich 0 < y < ∞ möglich.

Durch die +3 hinter dem $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$ wird zu allen Funktionswerten von $e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$ noch $3$ addiert. Dadurch verschiebt sich auch der Wertebereich zu W = {y ∈ ℝ | y > 3}

Umkehrfunktion

Wir schreiben einfach mal y für f(x) und lösen die Funktionsgleichung nach x auf:

$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}+3$	=	$y$	| $-3$
$e^{-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}}$	=	$y-3$	|ln(⋅)
$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}$	=	$\ln \left(y-3\right)$

$-\mathrm{0,3}x+\mathrm{0,9}$	=	$\ln \left(y-3\right)$	| $-\mathrm{0,9}$
$-\mathrm{0,3}x$	=	$\ln \left(y-3\right)-\mathrm{0,9}$	|:($-\mathrm{0,3}$)
$x$	=	$-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(y-3\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

Statt jedem x ein y zuzuordnen (x ↦ y), wird bei der Umkehrfunktion ja gerade andersrum dem y das x zugeordnet (y ↦ x).
Deswegen vertauschen wir nun x und y:

y = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x-3\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$

und erhalten so die Umkehrfunktion $\stackrel{-}{f}$(x) = $-\frac{1}{\mathrm{0,3}}\ln \left(x-3\right)+\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{0,3}}$