Aufgabenbeispiele von e-Funktion
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Eigenschaften von e-Funktionen
Beispiel:
Welche Eigenschaften hat die Funktion f mit f(x)= .
Als erstes erinnern wir uns an die natürliche Exponentialfunktion f0(x)= (im Schaubild in schwarzer Farbe eingezeichnet).
Am Koeffizient vor dem erkennen wir, dass der Graph gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion lediglich in y-Richtung gestreckt wurde. Qualitativ unterscheiden sich die beiden Graphen also nicht.
Da bei zu jedem Funktionswert von noch 2 addiert wird, ist der Graph von gegenüber dem der natürlichen Exponentialfunktion, um 2 nach oben verschoben.
Da bei
das x von
durch ein 'x
Daraus ergeben sich folgende Aussagen:
- Alle Funktionswerte bleiben also >0, der Graph verläuft somit komplett über der x-Achse.
- Die Funktionswerte werden also immer größer, die Funktion ist also streng monoton wachsend.
- Für x → ∞ strebt gegen .
- Für x → - ∞ strebt gegen = .
Symmetrie e-Funktionen
Beispiel:
Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit vorliegt.
Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:
f(-x) = = =
Wenn man das mit f(x) =
=
vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) =
weder gleich f(x) =
noch gleich -f(x) =
=
ist.
Wir können dies ja auch anhand eines Gegenbeispiels nachweisen:
f(1) =
=
≈ 8.389
Aber: f(-1) =
=
≈ 0
Es gilt also: f(-x) ≠ f(x) und f(-x) ≠ -f(x)
Somit liegt bei f keine Symmetrie zum KoSy vor.
e-Funktion Graph zu Term finden
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) =
Eines der vier unten stehenden Schaubilder zeigt den Graph von f.
Entscheide, welches der vier dies ist. Suche dazu jeweils bei den drei anderen einen Beweis, dass es sich nicht um die Ableitungsfunktion handeln kann.
Wir untersuchen zuerst den gegeben Funktionsterm:
- y-Achsenabschnitt: f(0) = = 0
- Nullstellen: f(x) = 0
= 0 Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
x1 = 0 2. Fall:
= Diese Gleichung hat keine Lösung!
- Grenz-Verhalten:
- Für x → -∞ strebt f(x)= gegen " " =
- Für x → +∞ strebt f(x) =
gegen "
" =
0
( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen0 als der erste Faktor gegen und setzt sich deswegen durch)
- Eventuell braucht noch die Punkte mit waagrechter Tangente für die Entscheidung. Dazu leiten wir f erstmal ab:
f'(x) = = .
f'(x) = 0:= 0 Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
= 0 | = |:() x1 = 2. Fall:
= Diese Gleichung hat keine Lösung!
Diese Eigenschaften überprüfen wir nun bei den 4 vorgeschlagenen Termen:
Schaubild 1
- y-Achsenabschnitt: f(0) = = 0
- Nullstellen: f(0) = =0
- Grenzverhalten
- Für x → -∞ strebt f1 =
0 - Für x → +∞ strebt f1 =
- Für x → -∞ strebt f1 =
Damit können wir f1 ausschließen.
Schaubild 2
- y-Achsenabschnitt: f(0) = = 0
- Nullstellen: f(0) = =0
- Grenzverhalten
- Für x → -∞ strebt f2 =
0 - Für x → +∞ strebt f2 =
- Für x → -∞ strebt f2 =
Damit können wir f2 ausschließen.
Schaubild 3
- y-Achsenabschnitt: f(0) = = 0
- Nullstellen: f(0) = =0
- Grenzverhalten
- Für x → -∞ strebt f3 =
- Für x → +∞ strebt f3 =
0
- Punkte mit waagrechter Tangente:
Wir erkennen einen Punkt mit waagrechter Tangente bei x ≈ 1.
Hier spricht also nichts dagegen, dass f3 der zugehörige Funktionsterm sein könnte.
Schaubild 4
- y-Achsenabschnitt: f(0) = = 0
- Nullstellen: f(0) = =0
- Grenzverhalten
- Für x → -∞ strebt f4 =
0 - Für x → +∞ strebt f4 =
- Für x → -∞ strebt f4 =
Damit können wir f4 ausschließen.
e-Funktion Term zu Graph finden
Beispiel:
Gegeben ist der Graph einer Funktion f
Einer der vier gegebenen Funktionsterme gehört zu f.
Entscheide, welcher der vier Terme dies ist. Suche hierbei jeweils bei den drei anderen Termen einen Beweis, dass es sich nicht um den Term von f handeln kann.
- f1(x) =
- f2(x) =
- f3(x) =
- f4(x) =
- f5(x) =
- f6(x) =
Wir betrachten zuerst den gegeben Graph und entdecken dabei:
- Der Graph hat eine Nullstelle bei x = 0
- Für x → -∞ strebt f(x) gegen
0 - Für x → +∞ strebt f(x) gegen
- Außerdem kann man einen Tiefpunkt bei x = -1 erkennen.
Diese Eigenschaften überprüfen wir nun bei den 6 vorgeschlagenen Termen:
f1(x) =
- f(0) = =0
- Allerdings haben wir hier zusätzlich noch eine waagrechte Tangente bei x = 0, was nicht mit dem gegebenen Graph übereinstimmt.
f'(x) = =
f'(0) = = 0
Damit können wir f1 ausschließen.
f2(x) =
- f(0) = =0
- Für x → -∞ strebt f2 = gegen " " =
- Für x → +∞ strebt f2 =
gegen "
" =
(weil schneller gegen strebt als gegen ) - Wenn wir nach Punkten auf dem Graph mit waagrechter Tangente schauen, müssen wir
f'(x) =
=
=
= 0
nach x auflösen.= 0 = 0 Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
= 0 | = |: = |ln(⋅) = |: x1 = ≈ -1.3863 2. Fall:
= Diese Gleichung hat keine Lösung!
Der Graph von f2(x) = hat also bei x = -1.386 einen Punkt mit waagrechter Tangente.
Hier spricht also nichts dagegen, dass f2 der zugehörige Funktionsterm sein könnte.
f3(x) =
- f(0) = =0
- Für x → -∞ strebt f3 = gegen " " =
- Für x → +∞ strebt f3 =
gegen "
" =
0
( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen0 als der erste Faktor gegen und setzt sich deswegen durch)
Damit können wir f3 ausschließen.
f4(x) =
- f(0) = =0
- Allerdings haben wir hier zusätzlich noch eine waagrechte Tangente bei x = 0, was nicht mit dem gegebenen Graph übereinstimmt.
f'(x) = =
f'(0) = = 0
Damit können wir f4 ausschließen.
f5(x) =
- f(0) = =0
- Für x → -∞ strebt f5 = gegen " " =
- Für x → +∞ strebt f5 = gegen " " =
Damit können wir f5 ausschließen.
f6(x) =
- f(0) = =0
- Für x → -∞ strebt f6 =
gegen "
" =
0
( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen0 als der erste Faktor gegen und setzt sich deswegen durch) - Für x → +∞ strebt f6 = gegen " " =
- Wenn wir nach Punkten auf dem Graph mit waagrechter Tangente schauen, müssen wir
f'(x) =
=
=
= 0
nach x auflösen.= 0 = 0 Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
= 0 | x1 = 2. Fall:
= Diese Gleichung hat keine Lösung!
Der Graph von f6(x) = hat also bei x = -1 einen Punkt mit waagrechter Tangente.
Hier spricht also nichts dagegen, dass f6 der zugehörige Funktionsterm sein könnte.
Anwendungen e-Funktion
Beispiel:
Die Geschwindigkeit eines Fahrstuhls in einem Wolkenkratzer kann näherungsweise für t ≥ 0 durch die Funktion f mit beschrieben werden f(t) in m/s, t in s nach Beobachtungsbeginn. Zu Beobachtungsbeginn ist der Fahrstuhl auf 4 m Höhe.
- Wie schnell (in m/s) ist der Fahrstuhl nach 4 Sekunden?
- Wann ist die Fahrstuhlgeschwindigkeit am größten?
- Wann bremst der Fahrstuhl am stärksten ab?
- y-Wert bei t = 4
Gesucht ist der Funktionswert zur Zeit t=4. Wir berechnen also einfach f(4) = = ≈ 1.1
- t-Wert des Maximums (HP)
Gesucht ist der t-Wert des Hochpunkt. Wir berechnen also die Extremstellen von f:
Detail-Rechnung für den Hochpunkt (|1.49) einblenden
Randwertuntersuchung
Da ja ein maximaler Wert, also ein globales Maximum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch höhere Werte als beim lokalen Maximum auftreten.
Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f(0) = = . Am rechten Rand müssen wir das Verhalten für t → ∞ betrachten: Für t → ∞ ⇒ f(t) →
0 .Weil die Werte an den Rändern kleiner als am Hochpunkt sind, ist das lokale Maximum also ein globales Maximum von f.
Bei t = ist also der größte Wert der Funktion.
- t-Wert bei der stärksten Abnahme
Gesucht ist der t-Wert des Tiefpunkt der Ableitung.
Dazu berechnen wir erstmal die Ableitungsfunktion f':
f'(t)=
=
Wir berechnen also die Extremstellen von f':Detail-Rechnung für den Tiefpunkt der Ableitung (|-0.55) einblenden
Randwertuntersuchung
Da ja ein minimaler Wert, also ein globales Minimum gesucht wird, müssen wir noch untersuchen, ob vielleicht an den Rändern noch kleinere Werte als beim lokalen Minimum auftreten.
Dazu setzen wir am linken Rand einfach die linke Grenze des Definitionsbereichs in die Funktion ein: f'(0) = = . Am rechten Rand müssen wir das Verhalten für t → ∞ betrachten: Für t → ∞ ⇒ f'(t) →
0 .Weil die Werte an den Rändern größer als am Tiefpunkt sind, ist das lokale Minimum also ein globales Minimum von f'.
Bei t = ist also der kleinste Wert der Ableitungsfunktion.
Ableiten e-Funktion mit Parameter
Beispiel:
Berechne die Ableitung von f mit und vereinfache:
=
=
=
=
=
Parameter finden mit f(x0)=y0 (e-Fktn)
Beispiel:
Für welches t liegt der Punkt A(|
Wir machen einfach eine Punktprobe mit A(|
Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung
=
= | |⋅ 2 | ||
= | |||
= | | | ||
= | |:() | ||
= | = -0.25 |
Für t= liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.
Parameter finden mit Ableitungswert (e-Fktn)
Beispiel:
Für welche t ist die Tangente von f mit im Punkt B(|f()) parallel zur Gerade y= ?
Gib alle Möglichkeiten für t an.
Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:
=
=
=
=
=
In diese Ableitung setzen wir x= ein:
f'() = = =
Damit die Tangente parallel zur Geraden y=
x
also f'()=
soll gleich
sein.
Dazu lösen wir die Gleichung
=
nach t auf.
= | | | ||
= | |:() | ||
= | = 2.5 |
Für t= ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.
Parameter mit Graph bestimmen
Beispiel:
Gegeben ist die Funktionenschar . Die Abbildung rechts zeigt den Graph von fk für ein bestimmtes k. Bestimme dieses k.
Das Problem bei e-Funktionen ist ja, dass wir normale Funktionswerte sehr schwer berechnen und dann nur sehr ungenau ablesen können :(
Die einzigen Möglichkeiten gut ablesbare Werte zu finden, ist also dort, wo der Exponentialterm (annähernd) = 0 ist - oder eben =1 ist, weil dort der Exponent =0 ist.
- Hier kann man schnell erkennen, dass der Exponentialterm
niemals = 0 werden kann.
Da jedoch der zweite Summand abhängig von k ist, Kann man über die Asymptote den Parameter k bestimmen.
Denn für x → -∞ strebt fk(x) → 0 +
Aus dem Schaubild erkennt man eine waagrechte Asymptote bei y = 3, somit muss = 3 gelten;
Also gilt k =
Der abgebildete Graph ist somit der von f
Parameter für stärkste Steigung
Beispiel:
Auf dem Biberacher Skaterplatz soll eine neue abgerundete Funbox (kleiner Hügel) gebaut werden. Der Querschnitt des Entwurfs kann durch die Funktion ft mit ft(x)= mit t>0 beschrieben werden. Die tatsächliche Form der Funbox kann durch verschiedene Werte von t variiert werden. Dabei muss aber aus Sicherheitsgründen gewährleistet sein, dass an der steilsten Stelle der Steigungswinkel nie mehr als 30° beträgt. Bestimme den zulässigen Bereich für t.
Um aus dem maximalen Steignungswinkel die maximale Steigung zu berechnen, beutzen wir die Formel für den Steigungswinkel:
m = tan(α),
also hier mmax=tan(30°) ≈ 0.577.
Um die steilste Stelle zu finden, brauchen wir die Extrempunkte der Ableitungsfunktion, also die Wendepunkte von ft .
Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.
=
=
=
=
=
=
=
Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.
(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').
Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.
= | |||
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
= | | - ( ) | ||
= | |: | ||
= | | | ||
x1 | = |
|
=
|
x2 | = |
|
=
|
2. Fall:
|
= |
Diese Gleichung hat keine Lösung!
Die Lösungen
Wenn man die beiden Lösungen
ft'(
ft'(
An den Rändern gilt:
Für x → -∞ strebt ft'(x) =
Für x → +∞ strebt ft'(x) =
Da die stetige Funktion ft' an den Rändern gegen 0 strebt und an den Stellen
Die maximale Steigung ist somit ft'(
Die minimale Steigung ist somit ft'(
Aufgrund der Symmetrie, genügt es im weiteren nur auf die maximale Steigung mmax =
Diese darf ja wegen des maximalen Steigungswinkel von 30° höchstens 0.577 sein, also berechnen wir das
t für das
D=R\{
|
= |
|
Wir multiplizieren den Nenner
|
= |
|
|⋅(
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|:( |
|
= |
|
(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).
Für t = 2.104 wird also gerade der maximale Steigungswinkel von 30° erreicht.
Und weil ja die maximale Steigung mmax = ft'(
Nullstellen bei ln-Funktionen
Beispiel:
Bestimme die Nullstellen der Funktion f mit
|
= | |
|
|
|
= |
|
|:
|
|
= |
|
|e(⋅) |
|
= |
|
L={
Extrempunkte bei ln-Funktionen
Beispiel:
Berechne die Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von f mit
Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.
=>
=
=
Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.
(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).
Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.
|
= | ||
|
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
x1 | = |
2. Fall:
|
= | |
|
|
|
= |
|
|: |
|
= |
|
|e(⋅) |
|
= |
|
Die Lösungen
f(
Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in f''(x):
Ist f''(x) < 0, so handelt es sich um einen Hochpunkt (hinreichende Bedingung: f'(x0)=0
und f''(x0)<0).
Ist sie größer 0 handelt es sich um einen Tiefpunkt (hinreichende Bedingung:
f'(x0)=0 und f'(x0)>0).
f''(
Das heißt bei x =
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzt werden.
f(
Man erhält so den Hochpunkt H:(
≈ H:(0.607|0.552)