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Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{19}{x^{3}} + \frac{90}{x^{4}}$ = 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{19}{x^{3}} + \frac{90}{x^{4}}$	=	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{19}{x^{3}} \cdot x^{4} + \frac{90}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=
$x^{2} + 19 x + 90$	=

$x^{2} + 19 x + 90$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 90}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 360}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 19+1}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 19-1}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $- 9$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 41 x - 7}{4 x}$ = $x - 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{- 41 x - 7}{4 x}$	=	$x - 3$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{- 41 x - 7}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x - 3 \cdot 4 x$
$- 41 x - 7$	=	$4 x \cdot x - 12 x$

- 41 x - 7

=

4 x^{2} - 12 x

|

- 4 x^{2}

+ 12 x

$- 4 x^{2} - 29 x - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{{(- 29)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 7)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{841 - 112}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{729}}{- 8}$

x₁ = $\frac{29 + \sqrt{729}}{- 8}$ = $\frac{29+27}{- 8}$ = $\frac{56}{- 8}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{29 - \sqrt{729}}{- 8}$ = $\frac{29-27}{- 8}$ = $\frac{2}{- 8}$ = $- 0,25$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $- 0,25$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x - 4} + \frac{3 x}{2 x - 2} - 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $\frac{4}{3}$ }

$\frac{3 x}{2 x - 2} + \frac{x}{3 x - 4} - 4$	=	0
$\frac{3 x}{2 (x - 1)} + \frac{x}{3 x - 4} - 4$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$\frac{3 x}{2 (x - 1)} + \frac{x}{3 x - 4} - 4$	=	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$\frac{3 x}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) + \frac{x}{3 x - 4} \cdot (2 (x - 1)) - 4 \cdot (2 (x - 1))$	=
$3 x + 2 \frac{x (x - 1)}{3 x - 4} - 8 x + 8$	=
$3 x + 2 \frac{x^{2} - x}{3 x - 4} - 8 x + 8$	=
$2 \frac{x^{2} - x}{3 x - 4} + 3 x - 8 x + 8$	=

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$2 \frac{x^{2} - x}{3 x - 4} + 3 x - 8 x + 8$	=	\|⋅( $3 x - 4$ )
$2 \frac{x^{2} - x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4) + 3 x \cdot (3 x - 4) - 8 x \cdot (3 x - 4) + 8 \cdot (3 x - 4)$	=
$2 x^{2} - 2 x + 3 x (3 x - 4) - 8 x (3 x - 4) + 24 x - 32$	=
$2 x^{2} - 2 x + (9 x^{2} - 12 x) + (- 24 x^{2} + 32 x) + 24 x - 32$	=
$- 13 x^{2} + 42 x - 32$	=

$- 13 x^{2} + 42 x - 32$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 42 \pm \sqrt{42^{2} - 4 \cdot (- 13) \cdot (- 32)}}{2 \cdot (- 13)}$

x_1,2 = $\frac{- 42 \pm \sqrt{1 764 - 1 664}}{- 26}$

x_1,2 = $\frac{- 42 \pm \sqrt{100}}{- 26}$

x₁ = $\frac{- 42 + \sqrt{100}}{- 26}$ = $\frac{- 42+10}{- 26}$ = $\frac{- 32}{- 26}$ = $\frac{16}{13}$ ≈ 1.23

x₂ = $\frac{- 42 - \sqrt{100}}{- 26}$ = $\frac{- 42-10}{- 26}$ = $\frac{- 52}{- 26}$ = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{16}{13}$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - \frac{10}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - \frac{10}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - \frac{10}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x - \frac{10}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} - 10$	=	$- a x$
$x^{2} - 10 + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 10$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 10$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -5 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 5)$ = -10

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 5)$ = $3$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 3 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter