Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 8
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Binär aus Dezimal
Beispiel:
Gib die Zahl 88 im Binärsystem an.
Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 88 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:
88 = 64 + 24 = 64 + 16 + 8
= 1⋅64 + 0⋅32 + 1⋅16 + 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1
Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 88 = (101.1000)2
Dezimal aus Binär
Beispiel:
Gib die Zahl (1010.0001)2 im Dezimalsystem an.
Als Dezimalzahl
Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:
(1010.0001)2 = 1⋅1 + 0⋅2 + 0⋅4 + 0⋅8 + 0⋅16 + 1⋅32 + 0⋅64 + 1⋅128= 161
Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1010.0001)2 = 161
ggT mit Primfaktoren
Beispiel:
Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von 162 und 44.
Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:
162
= 2 ⋅ 81
= 2 ⋅ 3 ⋅ 27
= 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 9
= 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3
44
= 2 ⋅ 22
= 2 ⋅ 2 ⋅ 11
Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:
2(die 2 kommt sowohl in 162 als auch 44 insgesamt 1 mal vor)
Da 2 = 2 in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommt, muss 2 auf jeden Fall ein Teiler von beiden Zahlen sein. Andererseits kann es keinen größeren gemeinsamen Teiler geben, denn sonst müsste ja in diesem größeren gemeinsamen Teiler noch ein weiterer gemeinsamer Primfaktor sein.
Unser größter gemeinsamer Teiler von 162 und 44 ist somit :
ggT(162,44) = 2
kgV mit Primfaktoren
Beispiel:
Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von 21 und 25.
Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:
21
= 3 ⋅ 7
25
= 5 ⋅ 5
Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:
3(die 3 kommt in 21 insgesamt 1 mal vor)
3 ⋅ 5 ⋅ 5(die 5 kommt in 25 insgesamt 2 mal vor)
3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 7(die 7 kommt in 21 insgesamt 1 mal vor)
In 3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 7 = 525 sind nun alle Primteiler von 21 und alle Primteiler von 25 enthalten. Also ist 525 ein Vielfaches von 21 und 25. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 21 oder 25 fehlen.
Das kleinste gemeinsame Vielfache von 21 und 25 ist somit :
kgV(21,25) = 525
ggT mit Euklid' schem Algor.
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des Euklid'schen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von 93 und 141.
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 93 und 141
| =>93 | = 0⋅141 + 93 |
| =>141 | = 1⋅93 + 48 |
| =>93 | = 1⋅48 + 45 |
| =>48 | = 1⋅45 + 3 |
| =>45 | = 15⋅3 + 0 |
also gilt: ggt(93,141)=3
Binär und Hexdezimal aus Dezimal
Beispiel:
Gib die Zahl 184 sowohl im Binär- als auch im Hexdezimalsystem an.
Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 184 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:
184 = 128 + 56 = 128 + 32 + 24 = 128 + 32 + 16 + 8
= 1⋅128 + 0⋅64 + 1⋅32 + 1⋅16 + 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1
Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 184 = (1011.1000)2
Um die Zahl 184 als Hexadzimalzahl auszugeben, gibt es zwei Möglichkeiten:
Theoretisch könnte man 184 wieder als Summe von 16er-Potenzen zerlegen und so die Koeffizienten vor den 16er-Potenzen als Hexadezimalzahl erhalten.
Wenn man bereits die Binärzahl hat, gibt es aber einen schnelleren Weg;
Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:
(1011)2 = 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = 11 = (B)16
(1000)2 = 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = 8 = (8)16
Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1011.1000)2 = (B8)16
alle Teiler einer Zahl
Beispiel:
Bestimme alle Teiler von 28 an:
Wir suchen alle Teiler von 28. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.
Wenn eine Zahl ein Teiler von 28 ist, teilen wir 28 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 28 ergeben).
Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.
1 ist Teiler von 28, denn 28 = 1 ⋅ 28, also ist auch 28 ein Teiler.
2 ist Teiler von 28, denn 28 = 2 ⋅ 14, also ist auch 14 ein Teiler.
3 ist kein Teiler von 28, denn 28 = 3 ⋅ 9 + 1.
4 ist Teiler von 28, denn 28 = 4 ⋅ 7, also ist auch 7 ein Teiler.
5 ist kein Teiler von 28, denn 28 = 5 ⋅ 5 + 3.
Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 6 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 6 ⋅ 6
= 36 > 28, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.
Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 28:
1, 2, 4, 7, 14, 28
Teilbarkeitsregeln rückwärts
Beispiel:
Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 178⬜ sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.
Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also 8⬜.
Bei den 80er-Zahlen muss ja 0, 4 oder 8 an der Einerstelle stehen, weil eben nur 80, 84, 88 durch 4 teilbar sind.
Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.
0: Dann wäre die Zahl 1780, für die Quersumme gilt dann: 1 + 7 + 8 + 0 = 16, also nicht durch 3 teilbar.
4: Dann wäre die Zahl 1784, für die Quersumme gilt dann: 1 + 7 + 8 + 4 = 20, also nicht durch 3 teilbar.
8: Dann wäre die Zahl 1788, für die Quersumme gilt dann: 1 + 7 + 8 + 8 = 24, also durch 3 teilbar.
Die einzige mögliche Ziffer ist also 8.
Summe von Primzahlen
Beispiel:
Schreibe 26 als Summe von zwei Primzahlen:
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 26 bilden:
2 + 24 = 26, dabei ist 24 aber keine Primzahl
3 + 23 = 26, dabei ist 23 auch eine Primzahl
3 und 23 wären also zwei Primzahlen mit 3 + 23 = 26
Primfaktorzerlegung
Beispiel:
Bestimme die Primfaktorzerlegung von 70 :
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 70 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:
70
= 2 ⋅ 35
= 2 ⋅ 5 ⋅ 7
