Aufgabenbeispiele von Informatik
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Dezimal und Hexdezimal aus Binär
Beispiel:
Gib die Zahl (1100.1100)2 sowohl im Dezimal- als auch im Hexdezimalsystem an.
Als Dezimalzahl
Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:
(1100.1100)2 = 0⋅1 + 0⋅2 + 1⋅4 + 1⋅8 + 0⋅16 + 0⋅32 + 1⋅64 + 1⋅128= 204
Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1100.1100)2 = 204
Als Hexadezimalzahl
Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:
(1100)2 = 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = 12 = (C)16
(1100)2 = 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = 12 = (C)16
Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1100.1100)2 = (CC)16
endliche binäre Komma-Zahl
Beispiel:
Gib die Zahl 4,8671875 als binäre Kommazahl an.
Wir zerlegen die Zahl 4,8671875 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 4,8671875 = 4 + 0,8671875
Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 4 in eine Binärzahl um:
Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 4 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:
4
= 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1
Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 4 = (100)2
Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 4 zu bestimmen:
Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.
4 -> 4:2 = 2 Rest 0, also kommt nun an die 20-Stelle eine 0.
4 = 2⋅2 + 0, also 4 = ( 2⋅2 + 0)⋅1 = 2⋅2 + 0⋅1
2 -> 2:2 = 1 Rest 0, also kommt nun an die 21-Stelle eine 0.
2 = 1⋅2 + 0, also 4 = ( 1⋅2 + 0)⋅2 + 0⋅1 = 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1
1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 22-Stelle eine 1.
1 = 0⋅2 + 1, also 4 = ( 0⋅2 + 1)⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = 0⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1
So erhalten wir die Binärdarstellung von 4 = (100)2
Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,8671875 in eine binäre Kommazahl umwandeln:
Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle,
ansonsten eine 0.
0.8671875 -> 0.8671875⋅2 = 1.734375, da 1.734375>1 ist, kommt nun an die 2-1-Stelle eine 1
0.8671875⋅ = 1.734375⋅, also ist 0.8671875 = 1⋅ + 0.734375⋅
0.734375 -> 0.734375⋅2 = 1.46875, da 1.46875>1 ist, kommt nun an die 2-2-Stelle eine 1
0.734375⋅ = 1.46875⋅, also ist 0.8671875 = 1⋅ + 1⋅ + 0.46875⋅
0.46875 -> 0.46875⋅2 = 0.9375, da 0.9375<1 ist, kommt nun an die 2-3-Stelle eine 0
0.46875⋅ = 0.9375⋅, also ist 0.8671875 = 1⋅ + 1⋅ + 0⋅ + 0.9375⋅
0.9375 -> 0.9375⋅2 = 1.875, da 1.875>1 ist, kommt nun an die 2-4-Stelle eine 1
0.9375⋅ = 1.875⋅, also ist 0.8671875 = 1⋅ + 1⋅ + 0⋅ + 1⋅ + 0.875⋅
0.875 -> 0.875⋅2 = 1.75, da 1.75>1 ist, kommt nun an die 2-5-Stelle eine 1
0.875⋅ = 1.75⋅, also ist 0.8671875 = 1⋅ + 1⋅ + 0⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 0.75⋅
0.75 -> 0.75⋅2 = 1.5, da 1.5>1 ist, kommt nun an die 2-6-Stelle eine 1
0.75⋅ = 1.5⋅, also ist 0.8671875 = 1⋅ + 1⋅ + 0⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 0.5⋅
0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2-7-Stelle eine 1
0.5⋅ = 1⋅, also ist 0.8671875 = 1⋅ + 1⋅ + 0⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 0⋅
Die Binärdarstellung von 0.8671875 ist somit 0,1101111
Zusammen mit der 4 = (100)2 von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 4,8671875 = (100,1101.111)2
endliche binäre Komma-Zahl 32Bit
Beispiel:
Gib die Zahl 5,6015625 als binäre 32-Bit Kommazahl an.
Wir zerlegen die Zahl 5,6015625 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 5,6015625 = 5 + 0,6015625
Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 5 in eine Binärzahl um:
Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 5 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:
5 = 4 + 1
= 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1
Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 5 = (101)2
Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 5 zu bestimmen:
Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.
5 -> 5:2 = 2 Rest 1, also kommt nun an die 20-Stelle eine 1.
5 = 2⋅2 + 1, also 5 = ( 2⋅2 + 1)⋅1 = 2⋅2 + 1⋅1
2 -> 2:2 = 1 Rest 0, also kommt nun an die 21-Stelle eine 0.
2 = 1⋅2 + 0, also 5 = ( 1⋅2 + 0)⋅2 + 1⋅1 = 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1
1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 22-Stelle eine 1.
1 = 0⋅2 + 1, also 5 = ( 0⋅2 + 1)⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 0⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1
So erhalten wir die Binärdarstellung von 5 = (101)2
Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,6015625 in eine binäre Kommazahl umwandeln:
Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle,
ansonsten eine 0.
0.6015625 -> 0.6015625⋅2 = 1.203125, da 1.203125>1 ist, kommt nun an die 2-1-Stelle eine 1
0.6015625⋅ = 1.203125⋅, also ist 0.6015625 = 1⋅ + 0.203125⋅
0.203125 -> 0.203125⋅2 = 0.40625, da 0.40625<1 ist, kommt nun an die 2-2-Stelle eine 0
0.203125⋅ = 0.40625⋅, also ist 0.6015625 = 1⋅ + 0⋅ + 0.40625⋅
0.40625 -> 0.40625⋅2 = 0.8125, da 0.8125<1 ist, kommt nun an die 2-3-Stelle eine 0
0.40625⋅ = 0.8125⋅, also ist 0.6015625 = 1⋅ + 0⋅ + 0⋅ + 0.8125⋅
0.8125 -> 0.8125⋅2 = 1.625, da 1.625>1 ist, kommt nun an die 2-4-Stelle eine 1
0.8125⋅ = 1.625⋅, also ist 0.6015625 = 1⋅ + 0⋅ + 0⋅ + 1⋅ + 0.625⋅
0.625 -> 0.625⋅2 = 1.25, da 1.25>1 ist, kommt nun an die 2-5-Stelle eine 1
0.625⋅ = 1.25⋅, also ist 0.6015625 = 1⋅ + 0⋅ + 0⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 0.25⋅
0.25 -> 0.25⋅2 = 0.5, da 0.5<1 ist, kommt nun an die 2-6-Stelle eine 0
0.25⋅ = 0.5⋅, also ist 0.6015625 = 1⋅ + 0⋅ + 0⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 0⋅ + 0.5⋅
0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2-7-Stelle eine 1
0.5⋅ = 1⋅, also ist 0.6015625 = 1⋅ + 0⋅ + 0⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 0⋅ + 1⋅ + 0⋅
Die Binärdarstellung von 0.6015625 ist somit 0,1001101
Zusammen mit der 5 = (101)2 von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 5,6015625 = (101,1001.101)2
Darstellung als 32-Bit Kommazahl:
(101,1001.101)2 = (1,0110.0110.1)2 ⋅ 22 (Normierte Darstellung)
Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!
Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 5.6015625 positiv ist.
Wegen der ⋅ 22 ist der Exponent ist 2 + 127 (Exzess) = 129, oder eben (1000.0001)2.
Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:
0 10000001 011.0011.0100.0000.0000.0000
unendliche binäre Komma-Zahl
Beispiel:
Gib die Zahl 9,55 als binäre 32-Bit Kommazahl an.
Wir zerlegen die Zahl 9,55 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 9,55 = 9 + 0,55
Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 9 in eine Binärzahl um:
Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 9 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:
9 = 8 + 1
= 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1
Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 9 = (1001)2
Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 9 zu bestimmen:
Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.
9 -> 9:2 = 4 Rest 1, also kommt nun an die 20-Stelle eine 1.
9 = 4⋅2 + 1, also 9 = ( 4⋅2 + 1)⋅1 = 4⋅2 + 1⋅1
4 -> 4:2 = 2 Rest 0, also kommt nun an die 21-Stelle eine 0.
4 = 2⋅2 + 0, also 9 = ( 2⋅2 + 0)⋅2 + 1⋅1 = 2⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1
2 -> 2:2 = 1 Rest 0, also kommt nun an die 22-Stelle eine 0.
2 = 1⋅2 + 0, also 9 = ( 1⋅2 + 0)⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1
1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 23-Stelle eine 1.
1 = 0⋅2 + 1, also 9 = ( 0⋅2 + 1)⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 0⋅16 + 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1
So erhalten wir die Binärdarstellung von 9 = (1001)2
Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,55 in eine binäre Kommazahl umwandeln:
Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle,
ansonsten eine 0.
0.55 -> 0.55⋅2 = 1.1, da 1.1>1 ist, kommt nun an die 2-1-Stelle eine 1
0.55⋅ = 1.1⋅, also ist 0.55 = 1⋅ + 0.1⋅
0.1 -> 0.1⋅2 = 0.2, da 0.2<1 ist, kommt nun an die 2-2-Stelle eine 0
0.1⋅ = 0.2⋅, also ist 0.55 = 1⋅ + 0⋅ + 0.2⋅
0.2 -> 0.2⋅2 = 0.4, da 0.4<1 ist, kommt nun an die 2-3-Stelle eine 0
0.2⋅ = 0.4⋅, also ist 0.55 = 1⋅ + 0⋅ + 0⋅ + 0.4⋅
0.4 -> 0.4⋅2 = 0.8, da 0.8<1 ist, kommt nun an die 2-4-Stelle eine 0
0.4⋅ = 0.8⋅, also ist 0.55 = 1⋅ + 0⋅ + 0⋅ + 0⋅ + 0.8⋅
0.8 -> 0.8⋅2 = 1.6, da 1.6>1 ist, kommt nun an die 2-5-Stelle eine 1
0.8⋅ = 1.6⋅, also ist 0.55 = 1⋅ + 0⋅ + 0⋅ + 0⋅ + 1⋅ + 0.6⋅
0.6 -> 0.6⋅2 = 1.2, da 1.2>1 ist, kommt nun an die 2-6-Stelle eine 1
0.6⋅ = 1.2⋅, also ist 0.55 = 1⋅ + 0⋅ + 0⋅ + 0⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 0.2⋅
0.2 -> 0.2⋅2 = 0.4, da 0.4<1 ist, kommt nun an die 2-7-Stelle eine 0
0.2⋅ = 0.4⋅, also ist 0.55 = 1⋅ + 0⋅ + 0⋅ + 0⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 0⋅ + 0.4⋅
0.4 -> 0.4⋅2 = 0.8, da 0.8<1 ist, kommt nun an die 2-8-Stelle eine 0
0.4⋅ = 0.8⋅, also ist 0.55 = 1⋅ + 0⋅ + 0⋅ + 0⋅ + 1⋅ + 1⋅ + 0⋅ + 0⋅ + 0.8⋅
Die 0.4 (und dann 0.4⋅2 = 0.8) hatten wir aber schon, d.h. die binäre Kommazahl ist periodisch und beginnt jetzt wieder von vorne. Also sind ab hier immer die nächsten 4 Zahlen wieder 0.4, 0.8, 0.6 und 0.2 mit den Binärzahlen 0110.
Die Binärdarstellung von 0.55 ist somit (0,1000.1100.1100.1100.1100.1100.1100.110)2
Zusammen mit der 9 = (1001)2 von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 9,55 = (1001,1000.1100.1100.1100.1100.1100.1100)2
Darstellung als 32-Bit Kommazahl:
(1001,1000.1100.1100.1100.1100.1100.1100)2 = (1,0011.0001.1001.1001.1001.1001.1001.100)2 ⋅ 23 (Normierte Darstellung)
Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!
Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 9.55 positiv ist.
Wegen der ⋅ 23 ist der Exponent ist 3 + 127 (Exzess) = 130, oder eben (1000.0010)2.
Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:
0 10000010 001.1000.1100.1100.1100.1100
Binäres Addieren
Beispiel:
Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:
( | 1 | 0 | 0 | 1 | . | 0 | 1 | 1 | 0 | )2 | + | ( | 1 | . | 0 | 0 | 0 | 1 | . | 1 | 1 | 1 | 0 | )2 |
Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:
( | 1 | 0 | 0 | 1 | . | 0 | 1 | 1 | 0 | )2 | + | ( | 1 | . | 0 | 0 | 0 | 1 | . | 1 | 1 | 1 | 0 | )2 | |||
1 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||||||||||||||
( | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | )2 |
negative Binärzahlen
Beispiel:
Gegeben ist die 8-Bit-Binärzahl (0100.0011)2 = 67.
Bestimme -67 als 8-Bit-Binärzahl (in der Zweierkomplement-Darstellung):
Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).
so wird (0100.0011)2
zu (1011.1100)2
Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:
( | 1 | 0 | 1 | 1 | . | 1 | 1 | 0 | 0 | )2 | + | ( | 0 | 0 | 0 | 0 | . | 0 | 0 | 0 | 1 | )2 | |||||
( | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | )2 |
Binäres Subtrahieren
Beispiel:
Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:
( | 0 | 1 | 0 | 1 | . | 1 | 0 | 1 | 0 | )2 | - | ( | 0 | 0 | 1 | 0 | . | 1 | 1 | 1 | 0 | )2 |
Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).
Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).
so wird (0010.1110)2
zu (1101.0001)2
Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:
( | 1 | 1 | 0 | 1 | . | 0 | 0 | 0 | 1 | )2 | + | ( | 0 | 0 | 0 | 0 | . | 0 | 0 | 0 | 1 | )2 | |||||
1 | |||||||||||||||||||||||||||
( | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | )2 |
Jetzt können wir einfach a=(0101.1010)2 und -b = (1101.0010)2 addieren:
( | 0 | 1 | 0 | 1 | . | 1 | 0 | 1 | 0 | )2 | + | ( | 1 | 1 | 0 | 1 | . | 0 | 0 | 1 | 0 | )2 | |||||
1 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||||||||||||||
( | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | )2 |
Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:
(0010.1100)2
Binäres Multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:
(111.1110)2 ⋅ (11)2 =
Der zweite Faktor (11)2 lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:
( | 1 | )2 | + | ( | 1 | 0 | )2 | ||||||||||||||||||||
( | 1 | 1 | )2 |
somit gilt:
(111.1110)2 ⋅ (11)2 = 111.1110 ⋅ (10 + 1)
Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:
(111.1110)2 ⋅ (11)2 = (1111.1100)2 + (111.1110)2
Diese 2 Summanden können wir nun schrittweise addieren:
( | 1 | 1 | 1 | . | 1 | 1 | 1 | 0 | )2 | + | ( | 1 | 1 | 1 | 1 | . | 1 | 1 | 0 | 0 | )2 | ||||||
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||||||||||||||
( | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | )2 |
Das Ergebnis ist somit: (1.0111.1010)2
(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 126 ⋅ 3 = 378)
Binäres Dividieren
Beispiel:
Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:
(1.1000.0110)2 : (1111)2 =
1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | : | 1 | 1 | 1 | 1 | = | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
- | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
- | 1 | 1 | 1 | 1 |
0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
- | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
- | 1 | 1 | 1 | 1 |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
- | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 | 0 |
- Die obige Differenz (11000)2 - (1111)2 = (1001)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 24 - 15 = 9
- Die obige Differenz (10010)2 - (1111)2 = (11)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 18 - 15 = 3
- Die obige Differenz (01111)2 - (1111)2 = (0)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 15 - 15 = 0
(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 390 : 15 = 26)