Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Nullstellen am Term ablesen

Beispiel:

Gib die Schnittpunkte des Graphen von f mit $f(x) =$ $(2 x - 7) \cdot (x - 3)$ mit der x-Achse an.

Hier kann man den Satz vom Nullprodukt anwenden:

(2 x - 7) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 x - 7$	=	0	\| $+ 7$
$2 x$	=	$7$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{7}{2}$ = 3.5

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

L={ $3$ ; $\frac{7}{2}$ }

Es gibt also 2 Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $3$ |0)

S₂( $\frac{7}{2}$ |0)

Nullstellen bestimmen (ohne Subst.)

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + 7 x^{2} + 12 x$ .

Lösung einblenden

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^{3} + 7 x^{2} + 12 x$	=	0
$x (x^{2} + 7 x + 12)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} + 7 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₂ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7+1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₃ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7-1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; $- 3$ ; 0}

Nullstellen bestimmen (mit Subst.)

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{4} - x^{2} - 12$ .

Lösung einblenden

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

x^{4} - x^{2} - 12

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $x^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1+7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1-7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Rücksubstitution:

u₁: $x^{2}$ = $4$

$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

u₂: $x^{2}$ = $- 3$

x^{2}

=

- 3

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $- 2$ ; $2$ }

Nullstellen mit Linearfaktordarstellung

Beispiel:

Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{5} + x^{4} - 12 x^{3}$ und gib f in Linearfaktordarstellung an.

Lösung einblenden

Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:

f(x)=0

$x^{5} + x^{4} - 12 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{2} + x - 12)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + x - 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₂ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₃ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

L={ $- 4$ ; 0; $3$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.

Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:

$f(x) =$ $x^{3} \cdot (x - 3) \cdot (x + 4)$ = $x^{5} + x^{4} - 12 x^{3}$

Term zu Nullstellen finden

Beispiel:

Gib eine ganzrationale Funktion f vom Grad 3 an, die genau die Nullstellen x₁ = 2, x₂ = 1 und x₃ = 0 hat.

Lösung einblenden

Der Funktionsterm $f(x) =$ $(x - 2) \cdot (x - 1) \cdot (x + 0)$ hat die gesuchten Nullstellen und $f(x) =$ $(x - 2) \cdot (x - 1) \cdot (x + 0)$ = $x^{3} - 3 x^{2} + 2 x$ hat auch den geforderten Grad n=3.

möglicher Term aus Schaubild

Beispiel:

Bestimme zu dem gegebenen Graphen einen möglichen Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion mit möglichst kleinem Grad.

(alle Nullstellen des Graphen sind auf dem abgebildeten Intervall sichtbar)

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Man erkennt am Graph eine Nullstelle bei x₁ = $- 3$ , da dies die einzige Nullstelle ist und diese einen Vorzeichenwechsel hat, muss der Grad 1, 3 oder sonst ungerade sein sein. Da der Graph aber keine Gerade ist und der Graph an dieser Stelle eine waagrechte Tangente hat, ist der kleinst mögliche Grad somit 3. Es handelt sich hier also um eine 3-fache Nullstelle.

Zusammenfassend lässt sich festhalten:

3-fache Nullstelle bei x = $- 3$ => (x+3)³ muss im Term sein

Ein möglicher Funtionsterm wäre somit $f(x) =$ ${(x + 3)}^{3}$ .

Auch wenn man sich das Ausmultiplizieren erspart ( ${(x + 3)}^{3}$ = $x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$ ) erkennt man schnell, dass der erste Summand $x^{3}$ sein muss. Und da dieser der mit der höchsten Hochzahl ist, hängt von ihm alleine das Verhalten für x → ± ∞ ab.
Es gilt also:

Für x → -∞ gilt: ${(x + 3)}^{3}$ = $x^{3}$ ± ... → -∞

Für x → +∞ gilt: ${(x + 3)}^{3}$ = $x^{3}$ ± ... → +∞

Dies ist ja aber genau gegensätzlich zum Grenzverhalten des abgebildeten Graphen. Wenn aber also unseren Term noch mit -1 multipliziert (und somit an der x-Achse spiegelt), erhält man ja genau das Grenzverhalten des abgebildeten Graphen.

Somit wäre ein möglicher Funtionsterm: $f(x) =$ $- {(x + 3)}^{3}$

Term am Schaubild erkennen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{3} - 2 x^{2} + 4 x$ .

Eines der vier unten stehenden Schaubilder zeigt den Graph von f.

Entscheide, welches der vier dies ist. Suche dazu jeweils bei den drei anderen einen Beweis, dass es sich nicht um den Graph von f handeln kann.

1

2

3

4

Lösung einblenden

Zuerst klammern wir mal aus: $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{3} - 2 x^{2} + 4 x$ = $\frac{1}{4} x \cdot (x^{2} - 8 x + 16)$ .

Im Idealfall erkennen wir jetzt die binomische Formel: $f(x) =$ $\frac{1}{4} x \cdot (x^{2} - 8 x + 16)$ = $\frac{1}{4} x \cdot {(x - 4)}^{2}$

Wenn man den Term von f betrachtet, so kann man folgendes erkennen:

für x → -∞ :f(x) → $- \infty$ und für x → ∞ : f(x) → $\infty$
f hat eine 1-fache Nullstelle bei x = 0 und eine 2-fache Nullstelle bei x = 4.

zu Schaubild Nr. 1

Dieses Schaubild Nr. 1 kann es nicht sein, weil man dort gut erkennen kann, dass für x → -∞ : f(x) → $\infty$ und für x → ∞ : f(x) → $- \infty$

Dieses Schaubild Nr. 1 kann es nicht sein, weil dort nicht - wie beim gegebenen Term - eine doppelte Nullstellen bei x = 4 vorliegt.

zu Schaubild Nr. 2

Hier passen das Grenzverhalten für x → ±∞ und die Nullstellen (incl. ihrer Vielfachheiten) zum Schaubild.

zu Schaubild Nr. 3

Dieses Schaubild Nr. 3 kann es nicht sein, weil man dort gut erkennen kann, dass für x → -∞ : f(x) → $\infty$ und für x → ∞ : f(x) → $- \infty$

zu Schaubild Nr. 4

Dieses Schaubild Nr. 4 kann es nicht sein, weil dort nicht - wie beim gegebenen Term - eine doppelte Nullstellen bei x = 4 vorliegt.

Da wir die anderen drei Schaubilder ausschließen können,
muss Schaubild 2 das richtige Schaubild mit dem Graph von f sein .

Intervalle finden f(x)>0

Beispiel:

Bestimme auf welchen Intervallen, der Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{2} - 2 x - 1$ über bzw. unter der x-Achse verläuft:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x^{2} - 2 x - 1$

Wir lösen die Gleichung:

$- x^{2} - 2 x - 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Wir betrachten nun die Intervalle, die an diese x-Werte angrenzen.

also (-∞ ; -1), (-1; ∞)

Da f(x) überall definiert und stetig ist und die eben ausgerechneten Nullstellen die einzigen von f(x) sind, müssen immer jeweils auf dem ganzen Intervall die Funktionswerte von f(x) dasselbe Vorzeichen haben, entweder alle positiv oder alle negativ.

Wir können also einen beliebigen Wert aus dem Innern des Intervalls einsetzen, um damit das Vorzeichen der Werte im gesamten Intervall zu bestimmen:

(-∞ ; -1): Wir wählen x=-2∈(-∞ ; -1): f(-2)= $- {(- 2)}^{2} - 2 \cdot (- 2) - 1$ = -1 also < 0

(-1; ∞): Wir wählen x=0∈(-1; ∞): f(0)= $- 0^{2} - 2 \cdot 0 - 1$ = -1 also < 0

Aufgabenbeispiele von Nullstellen

Nullstellen am Term ablesen

Nullstellen bestimmen (ohne Subst.)

Nullstellen bestimmen (mit Subst.)

Nullstellen mit Linearfaktordarstellung

Term zu Nullstellen finden

möglicher Term aus Schaubild

Term am Schaubild erkennen

zu Schaubild Nr. 1

zu Schaubild Nr. 2

zu Schaubild Nr. 3

zu Schaubild Nr. 4

Intervalle finden f(x)>0