Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Spitzel unter den MI6-Angestellten an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.02 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.02}^{\mathrm{n}}(X\le 0)$ ≥ 0.9

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 2% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{\mathrm{0.02}}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.02⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.02}^{\mathrm{n}}(X\le 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.9 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.9 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=5 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=28 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{28}(X\le 21)$ = 0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 5 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{28}(X\le 21)$ ('höchstens 21 Treffer bei 28 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=$\frac{4}{9}$. (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{9}{14}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 9 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.15 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.15}^{\mathrm{n}}(X\le 23)$ ≥ 0.5

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 15% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{23}}{\mathrm{0.15}}$ ≈ 153 Versuchen auch ungefähr 23 (≈0.15⋅153) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=153:
$P_{0.15}^{\mathrm{n}}(X\le 23)$ ≈ 0.5598 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.5 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.5 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=157 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der besuchten Kneipen, die keine "ID" (Personalausweis) verlangen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.14 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.14}^{\mathrm{n}}(X\ge 3)$ ≥ 0.6

Weil man ja aber $P_{0.14}^{\mathrm{n}}(X\ge 3)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.14}^{\mathrm{n}}(X\ge 3)$ = 1 - $P_{0.14}^{\mathrm{n}}(X\le 2)$ ≥ 0.6 |+ $P_{0.14}^{\mathrm{n}}(X\le 2)$ - 0.6

0.4 ≥ $P_{0.14}^{\mathrm{n}}(X\le 2)$ oder $P_{0.14}^{\mathrm{n}}(X\le 2)$ ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 14% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{3}{\mathrm{0.14}}$ ≈ 21 Versuchen auch ungefähr 3 (≈0.14⋅21) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=21:
$P_{0.14}^{\mathrm{n}}(X\le 2)$ ≈ 0.4205 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=22 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 22 sein, damit $P_{0.14}^{\mathrm{n}}(X\le 2)$ ≤ 0.4 oder eben $P_{0.14}^{\mathrm{n}}(X\ge 3)$ ≥ 0.6 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.14 und n = 75.

Es muss gelten: $P_{0.14}^{75}(X\le \mathrm{k})$ < 0.15

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 6 immer noch weniger als 0.15 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.14}^{75}(X\le 7)$ nimmt mit 15.86% einen Wert über 0.15 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.14}^{75}(X\le \mathrm{k})$ < 0.15 ist somit k = 6.

Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 6 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{3}$ und n = 30.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{3}}^{30}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.02 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{3}}^{30}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.98 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 14 immer noch weniger als 0.98 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{3}}^{30}(X\le 15)$ nimmt mit 98.12% einen Wert über 0.98 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{3}}^{30}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{\frac{1}{3}}^{30}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.02 ist somit k = 16.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 16 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{5}$ und n = 40.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{5}}^{40}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.1 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{5}}^{40}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.9 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 10 immer noch weniger als 0.9 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{5}}^{40}(X\le 11)$ nimmt mit 91.25% einen Wert über 0.9 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{5}}^{40}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{\frac{1}{5}}^{40}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.1 ist somit k = 12.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 12 sein.