$\text{f(x)}=$ $5x^4-\frac{3}{4}{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $20x^3-\frac{3}{2}x$

$\text{f(x)}=$ $-x^5+4x^4$

=>$\text{f'(x)}=$ $-5x^4+16x^3$

f'(1) = $-5\cdot 1^4+16\cdot 1^3$ = $-5\cdot 1+16\cdot 1$ = $-5+16$ = $11$

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$\text{f(x)}=$ $\left(-5x^3-4\right)·x$

= $-5x^3·x-4·x$

= $-5x^4-4x$

Jetzt wird abgeleitet:

$\text{f'(x)}=$ $-20x^3-4$

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$\text{f(x)}=$ $\left(x+7\right)·7x^2+3x^5$

= $7x^3+49x^2+3x^5$

= $3x^5+7x^3+49x^2$

$\text{f'(x)}=$ $15x^4+21x^2+98x$

$\text{f(x)}=$ $5t{x}^5+\frac{3}{4}t{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $25t{x}^4+\frac{3}{2}tx$

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2-x$

$\text{f'(x)}=$ $x^2+x-1$

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir $x^2+x-1$ = 1.

$x^2+x-2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·1·\left(-2\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{1+8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-1\pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{-1+\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{-1-\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

L={ $-2$; $1$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $-2$) = ${\left(-2\right)}^2-2-1$ = $1$

f '( $1$) = $1^2+1-1$ = $1$

Die Gerade y = $x+3$ hat als Steigung m = 1 und als y-Achsenabschnitt c = $3$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = 1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3+2x^2+4x$

$\text{f'(x)}=$ $x^2+4x+4$

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir $x^2+4x+4$ = 1.

$x^2+4x+3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·1·3}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{16-12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{-4+\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

x₂ = $\frac{-4-\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

L={ $-3$; $-1$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $-3$) = ${\left(-3\right)}^2+4\cdot \left(-3\right)+4$ = $1$

f '( $-1$) = ${\left(-1\right)}^2+4\cdot \left(-1\right)+4$ = $1$

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $x-3+\frac{1}{6}{x}^2·\left(2x+9\right)+4$

= $x-3+\left(\frac{1}{3}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2\right)+4$

= $\frac{1}{3}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2+x-3+4$

= $\frac{1}{3}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2+x+1$

Die Gerade y = $-x+1$ hat als Steigung m = -1 und als y-Achsenabschnitt c = $1$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2+x+1$

$\text{f'(x)}=$ $x^2+3x+1+0$

= $x^2+3x+1$

Diese Ableitung muss ja = -1 sein, also setzen wir $x^2+3x+1+0$ = -1.

$x^2+3x+2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{3^2-4·1·2}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{9-8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{-3+\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

x₂ = $\frac{-3-\sqrt{1}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

L={ $-2$; $-1$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $-2$) = ${\left(-2\right)}^2+3\cdot \left(-2\right)+1+0$ = $-1$

f '( $-1$) = ${\left(-1\right)}^2+3\cdot \left(-1\right)+1+0$ = $-1$

$\text{f(x)}=$ $-5x^6+tx$

=>$\text{f'(x)}=$ $-30x^5+t$

Jetzt setzen wir x = 2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $-30\cdot 2^5+t$
= $-960+t$

Dieser Wert soll ja den Wert -957 besitzen, also gilt: