$\text{f(x)}=$ $x^2+1$

$\text{f'(x)}=$ $2x+0$

= $2x$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{x^3}+6x^5$

= $-x^{-3}+6x^5$

=> f'(x) = $3x^{-4}+30x^4$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{x^4}+30x^4$

$\text{f(x)}=$ $\frac{9}{4}\sqrt{x}-5x^4$

= $\frac{9}{4}{x}^{\frac{1}{2}}-5x^4$

=> f'(x) = $\frac{9}{8}{x}^{-\frac{1}{2}}-20x^3$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{8\sqrt{x}}-20x^3$

Die Gerade y = $2x-5$ hat als Steigung m = 2 und als y-Achsenabschnitt c = $-5$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = 2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^4-8$

= $\frac{3}{4}{x}^{\frac{4}{3}}-8$

=> f'(x) = $x^{\frac{1}{3}}+0$

$\text{f'(x)}=$ $\sqrt[3]{x}+0$

= $\sqrt[3]{x}$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $\sqrt[3]{x}+0$ = 2.

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $8$

Also 2 = 2

x = $8$ ist somit eine Lösung !

L={ $8$}

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $8$) = $\sqrt[3]{8}+0$ = $2$