Für Erwartungswert und Standardabweichung bei der Binomialverteilung gibt es ja einfache Formeln, in die man einfach n = 97 und p = 0.65 einsetzen muss:

Erwartungswert E(X) = n ⋅ p = 97 ⋅ 0.65 = 63.05

Standardabweichung S(X) = $\sqrt{\mathrm{n\; \cdot \; p\; \cdot \; (1-p)}}$ = $\sqrt{\mathrm{97\; \cdot \; 0.65\; \cdot \; 0.35}}$ = $\sqrt{\mathrm{22.0675}}$ ≈ 4.7

Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=83⋅0.25 = 20.75

Die 10% Abweichung wären dann zwischen 90% von 20.75, also 0.9⋅ 20.75 = 18.675 und 110% von 20.75, also 1.1⋅ 20.75 = 22.825

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 20.75 entfernt sein darf als 18.675 bzw. 22.825, muss sie also zwischen 19 und 22 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=83 und p=0.25.

$P_{0.25}^{83}(19\le X\le 22)$ =

...

$P_{0.25}^{83}(X\le 22)$ - $P_{0.25}^{83}(X\le 18)$ ≈ 0.6773 - 0.2893 ≈ 0.388
(TI-Befehl: binomcdf(83,0.25,22) - binomcdf(83,0.25,18))

Den Erwartungswert berechnet man mit μ = n⋅p = 50⋅0.4 ≈ 20,
die Standardabweichung mit σ = $\sqrt{\mathrm{<mrow><mo>n</mo>\; <mo>\cdot </mo><mo>\; p\; </mo><mo>\cdot </mo><mo>\; (1-p)</mo></mrow>}}$ = $\sqrt{\mathrm{<mn>50</mn>\; <mo>\cdot </mo>0.4\; <mo>\cdot </mo>\; 0.6}}$ ≈ 3.46

23.46 (20 + 3.46) und 16.54 (20 - 3.46) sind also jeweils eine Standardabweichung vom Erwartungswert μ = 20 entfernt.

Das bedeutet, dass genau die Zahlen zwischen 17 und 23 nicht mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert entfernt sind.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl zwischen 17 und 23 liegt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.4.

$P_{0.4}^{50}(17\le X\le 23)$ =

...

$P_{0.4}^{50}(X\le 23)$ - $P_{0.4}^{50}(X\le 16)$ ≈ 0.8438 - 0.1561 ≈ 0.6877
(TI-Befehl: binomcdf(50,0.4,23) - binomcdf(50,0.4,16))

Für den Erwartungswert μ und gilt die Formel: μ = n ⋅ p

Da der Erwartungswert ganzzahlig ist, muss er auch die höchste Wahrscheinlichkeit besitzen, also die höchste Säule im Histogramm haben. Diese ist bei 18. Somit gilt:

18 = n ⋅ $\frac{6}{7}$ |⋅$\frac{7}{6}$

n = 21

Histogramm A kann nicht das richtige sein, weil der höchste Wert der Verteilung dieses Histogramms bei 8 liegt, der Erwartungswert von X aber E(X) = n ⋅ p = 14 ⋅ 0.7 = 9.8 liegt und dieser liegt ja nie mehr als 1 von der höchsten Säule (die Anzahl mit der höchsten Wahrschinlichkeit) entfernt.

Histogramm C kann nicht das richtige sein, weil dort an der Stelle k = 15 eine Säule mit einer Wahrscheinlichkeit > 0 zu erkennen ist. Die Wahrscheinlichkeit für 15 Treffer bei 14 Zufallsversuchen muss aber null sein.

Histogramm D kann nicht das richtige sein, weil dort die Gesamtwahrscheinlichkeit viel zu niedrig ist. Selbst wenn alle 9 sichtbare Säulen so groß wie die größte mit 0.09 wären, wäre die Summe (also die Gesamtwahrscheinlichkeit) nur ca. 9 ⋅ 0.09 ≈ 0.8 und damit viel zu wenig für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Also kann nur das Histogramm B das richtige sein.

Erwartungswert

Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:

E(X) = P(X=1)⋅1 + P(X=2)⋅2 + P(X=3)⋅3 + P(X=17)⋅17
= 0,4⋅1 + 0,1⋅2 + 0,2⋅3 + 0,3⋅17
= 0,4 + 0,2 + 0,6 + 5,1

= 6,3

Standardabweichung

Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:

Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.

Var(X) = P(X=1)⋅(6,3-1)² + P(X=2)⋅(6,3-2)² + P(X=3)⋅(6,3-3)² + P(X=17)⋅(6,3-17)²
= 0,4⋅(5,3)² + 0,1⋅(4,3)² + 0,2⋅(3,3)² + 0,3⋅(-10,7)²
= 0,4⋅28,09 + 0,1⋅18,49 + 0,2⋅10,89 + 0,3⋅114,49
= 11,236 + 1,849 + 2,178 + 34,347
= 49.61

Somit gilt für die Standardabweichung:

σ = $\sqrt{\mathrm{Var(X)}}$ = $\sqrt{\mathrm{49.61}}$ ≈ 7,043

Erwartungswert

Wir berechnen zuerst den Erwartungswert mit der allgemeinen Formel:

E(X) = P(X=0)⋅0 + P(X=1)⋅1 + P(X=2)⋅2
= 0.7⋅0 + 0.1⋅1 + 0.2⋅2
= 0 + 0.1 + 0.4

= 0.5

Standardabweichung

Da die Standardabweichung ja die Wurzel aus der Varianz ist, berechnen wir erst die Varianz von X:

Dazu addieren wir jeweils den Abstand vom Erwartungswert zum Quadrat - multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.

Var(X) = P(X=0)⋅(0.5-0)² + P(X=1)⋅(0.5-1)² + P(X=2)⋅(0.5-2)²
= 0.7⋅(0.5)² + 0.1⋅(-0.5)² + 0.2⋅(-1.5)²
= 0.7⋅0.25 + 0.1⋅0.25 + 0.2⋅2.25
= 0.175 + 0.025 + 0.45
= 0.65

Somit gilt für die Standardabweichung:

σ = $\sqrt{\mathrm{Var(X)}}$ = $\sqrt{\mathrm{0.65}}$ ≈ 0.806