Aufgabenbeispiele von Basics
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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen
Beispiel:
In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Dabei entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,3 Ausschuss. Es werden nacheinander 3 Chips als Stichprobe entnommen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle entnommenen Chips fehlerfrei funktionieren.
Da die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer (also hier, dass ein entnommener Chips nicht defekt ist) q = 1 - 0,3 = beträgt, muss die Wahrscheinlichkeit für 3 Nicht-Treffer bei 3 Versuchen P = ≈ 0.343 betragen, da ja bei jedem Versuch kein Treffer erzielt wird, und es somit nur einen möglichen Pfad im Baumdiagramm gibt.
Binomialkoeffizient
Beispiel:
Berechne ohne Taschenrechner:
Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
= =
=
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
39! = 39⋅38⋅37⋅36⋅35⋅34⋅33⋅32⋅31⋅30⋅29⋅28⋅27⋅26⋅25⋅24⋅23⋅22⋅21⋅20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:
=
= 40
Binomialkoeffizient Anwendungen
Beispiel:
Ein Skatkartenspiel hat 32 verschiedende Karten. Aus einem gut gemischten Stapel werden 6 Karten gezogen.Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es hierfür?
Für die erste Stelle ist jede Karte möglich. Es gibt also 32 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Karte nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 31 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 30 möglich sind, usw.
Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:
Es gibt also
Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel HerzAss - KreuzBube - Karo7 und KreuzBube - Karo7 - HerzAss zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 6er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.
Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 6er-Gruppe möglich sind.
- Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 6er-Gruppe möglich. Es gibt also 6 Möglichkeiten.
- Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 5 Möglichkeiten.
- Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 4 möglich sind, usw.
Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die
verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten
Wir müssen deswegen die 652458240 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 6er-Gruppen durch die 720 Möglichkeiten, die 6er-Gruppe anzuordnen, teilen.
Hieraus ergeben sich = 906192 Möglichkeiten für 6er-Gruppen, die aus 32 Elementen (Karten) gebildet werden.
Die hier durchgeführte Berechnung könnte man mit 26! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:
906192 = = = =
Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.
Beispiel:
In einer Urne befinden sich 30 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 30 beschriftet sind.
Es werden 4 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 1 dabei ist?
Es gibt insgesamt = = = 27405 verschiedene Möglichkeiten, die 4 Kugeln aus den 30 zu ziehen, bzw. von 30 Zahlen 4 anzukreuzen.
Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 1 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 4 von 30 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 1 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 29 Zahlen (alle außer der 1) zu setzen, also = = = 3654.
Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:
P = = ≈ 0.1333, also ca. 13.33%.
Formel v. Bernoulli
Beispiel:
Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 91 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so genau 18 Fragen richtig beantwortet hat?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=91 und p=.
= =0.052084656558793≈ 0.0521(TI-Befehl: binompdf(91,1/4,18))
kumulierte WS aus Histogramm finden
Beispiel:
In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das größte k, für das gilt P(X ≥ k) ≥ 0.7.
Wenn P(X ≥ k) ≥ 0.7 sein soll, bedeutet das doch, dass sie Summe der Säulenhöhen von k bis zum rechten Rand mindestens 0.7 sein muss. Das ist dann aber doch gleichbedeutend, wie dass für die restlichen Säulenhöhen links von 0 bis k-1 höchstens 1-0.7=0.3 als Wahrscheinlichkeit übrig bleiben darf.
Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:
k | P(X = k) | P(X ≤ k) |
---|---|---|
0 | ≈ 0.02 | ≈ 0 + 0.02 = 0.02 |
1 | ≈ 0.09 | ≈ 0.02 + 0.09 = 0.11 |
2 | ≈ 0.2 | ≈ 0.11 + 0.2 = 0.31 |
Während P(X ≤ 1) = 0.11 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.3 liegt, ist P(X ≤ 2) = 0.31 klar darüber.
Oder andersrum: P(X ≥ 2) = 1 - P(X ≤ 1) = 0.89 (die Summe der blauen Säulenhöhen von 2 bis 11) ist klar über der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.7, während P(X ≥ 3) = 1 - P(X ≤ 2) = 0.69 (die Summe der Säulenhöhen von 3 bis 11) klar darunter liegt.
Somit ist das gesuchte k = 2.
kumulierte Binomialverteilung
Beispiel:
Eine Münze wird 20 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass höchstens 11 mal "Zahl" (p=0,5) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und p=0.5.
= + + +... + = 0.74827766418457 ≈ 0.7483(TI-Befehl: binomcdf(20,0.5,11))
Binomialverteilung X>=k
Beispiel:
Ein Würfel wird 72 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mehr als 11 mal eine 6 (p=1/6) geworfen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=72 und p=.
(TI-Befehl: 1-binomcdf(72,,11))
Binomialverteilung X ∈ [l;k]
Beispiel:
Ein Würfel wird 50 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 3 mal, aber weniger als 12 mal eine sechs gewürfelt wird?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=.
=
(TI-Befehl: binomcdf(50,,11) - binomcdf(50,,3))