Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3x^2-2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $6x+0$

= $6x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $6\cdot 1$

= $6$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $6$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3\cdot 1^2-2$ = $3\cdot 1-2$ = $3-2$ = $1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1$ = $6$⋅ $1$ + c

$1$ = $6$ + c | $-6$

$-5$ = c

also c= $-5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $6$⋅x $-5$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{2}{3}{x}^3-2x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2x^2-2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $2\cdot 2^2-2$

= $2\cdot 4-2$

= $8-2$

= $6$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $6$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{2}{3}\cdot 2^3-2\cdot 2$ = $\frac{2}{3}\cdot 8-4$ = $\frac{16}{3}-4$ = $\frac{16}{3}-\frac{12}{3}$ = $\frac{4}{3}$ ≈ 1.33

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $\frac{4}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{4}{3}$ = $6$⋅ $2$ + c

$\frac{4}{3}$ = $12$ + c | $-12$

$-\frac{32}{3}$ = c

also c= $-\frac{32}{3}$ ≈ -10.67

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $6$⋅x $-\frac{32}{3}$ oder y=6x -10.67

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3-3x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $x^2-3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ ${\left(-1\right)}^2-3$

= $1-3$

= $-2$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{1}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{2}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{1}{3}\cdot {\left(-1\right)}^3-3\cdot \left(-1\right)$ = $\frac{1}{3}\cdot \left(-1\right)+3$ = $-\frac{1}{3}+3$ = $-\frac{1}{3}+\frac{9}{3}$ = $\frac{8}{3}$ ≈ 2.67

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $\frac{8}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{8}{3}$ = $\frac{1}{2}$⋅( $-1$) + c

$\frac{8}{3}$ = $-\frac{1}{2}$ + c | + $\frac{1}{2}$

$\frac{19}{6}$ = c

also c= $\frac{19}{6}$ ≈ 3.17

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{2}$⋅x + $\frac{19}{6}$ oder y=0.5x +3.17

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-1|f(-1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-x^2-2x-5$

=>$\text{f'(x)}=$ $-2x-2+0$

f'(-1) = $-2\cdot \left(-1\right)-2$ = $2-2$ = 0

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-1)) = arctan(0)) ≈ 0°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{20}{x}^4-76x-8$ ab:

f'(x) = $-\frac{3}{5}{x}^3-76$

Es muss gelten:

$-\frac{3}{5}{x}^3-76$	=	$-1$	| $+76$
$-\frac{3}{5}{x}^3$	=	$75$	|⋅ $\left(-\frac{5}{3}\right)$
$x^3$	=	$-125$	|
$x$	=	$-\sqrt[3]{125}$	= $-5$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -5.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^2-x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2x-1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $2\cdot \left(-2\right)-1$

= $-4-1$

= $-5$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-5$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ ${\left(-2\right)}^2-\left(-2\right)$ = $4+2$ = $6$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$6$ = $-5$⋅( $-2$) + c

$6$ = $10$ + c | $-10$

$-4$ = c

also c= $-4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-5$⋅x $-4$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-5x-4$

$-5x-4$	=	0	| $+4$
$-5x$	=	$4$	|:($-5$)
$x$	=	$-\frac{4}{5}$ = -0.8

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $-\frac{4}{5}$ ≈ -0.8.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(4|f(4)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $4-\frac{1}{208}{t}^4$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{52}{t}^3$

= $-\frac{1}{52}{t}^3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(4)}=$ $-\frac{1}{52}\cdot 4^3$

= $-\frac{1}{52}\cdot 64$

= $-\frac{16}{13}$

≈ -1.23

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{16}{13}$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(4)}=$ $4-\frac{1}{208}\cdot 4^4$ = $4-\frac{1}{208}\cdot 256$ = $4-\frac{16}{13}$ = $\frac{52}{13}-\frac{16}{13}$ = $\frac{36}{13}$ ≈ 2.77

Wir erhalten so also den Punkt B(4| $\frac{36}{13}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{36}{13}$ = $-\frac{16}{13}$⋅4 + c

$\frac{36}{13}$ = $-\frac{64}{13}$ + c | + $\frac{64}{13}$

$\frac{100}{13}$ = c

also c= $\frac{100}{13}$ ≈ 7.69

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{16}{13}$⋅t + $\frac{100}{13}$ oder y=-1.23t +7.69

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-\frac{16}{13}t+\frac{100}{13}$

$-\frac{16}{13}t+\frac{100}{13}$	=	0	|⋅ 13
$13\left(-\frac{16}{13}t+\frac{100}{13}\right)$	=	0
$-16t+100$	=	0	| $-100$
$-16t$	=	$-100$	|:($-16$)
$t$	=	$\frac{25}{4}$ = 6.25

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{25}{4}$ ≈ 6.25.