Man kann erkennen, dass man beide Brüche auf den Nenner 15 bringen kann, indem man den 2. Bruch mit 3 erweitert:

$\frac{16}{15}$ $-$$\frac{4}{5}$

= $\frac{16}{15}$ $-$$\frac{12}{15}$

Jetzt kann man die beiden Brüche als einen Bruch mit dem gleichen Nenner schreiben:

= $\frac{\mathrm{16\; <mrow><mo>-</mo></mrow>\; 12}}{\mathrm{15}}$

= $\frac{4}{15}$

Man kann erkennen, dass man beide Brüche auf den Nenner 35 bringen kann, indem man den 1. Bruch mit 7 und den 2. Bruch mit 5 erweitert:

$\frac{6}{5}$ $-$$\frac{8}{7}$

= $\frac{42}{35}$ $-$$\frac{40}{35}$

Jetzt kann man die beiden Brüche als einen Bruch mit dem gleichen Nenner schreiben:

= $\frac{\mathrm{42\; <mrow><mo>-</mo></mrow>\; 40}}{\mathrm{35}}$

= $\frac{2}{35}$

Wie immer beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen müssen erst alle Brüche auf den gleichen Nenner gebracht werden. Man kann erkennen, dass man dazu hier beide Brüche auf den Nenner 12 bringen kann, indem man den Bruch links vom Gleichheitszeichen mit 3 erweitert:

⬜ - $\frac{3}{12}$ = $\frac{13}{12}$

Wenn wir jetzt den Nenner des gesuchten Bruchs auch auf 12 setzen, also ⬜ = $\frac{◊}{\mathrm{12}}$, müssen wir uns noch um die Zähler kümmern:

$\frac{◊}{\mathrm{12}}$ - $\frac{3}{12}$ = $\frac{13}{12}$

◊ - $3$ = $13$

Jetzt erkennt man gut, dass die Raute ◊ = 16 sein muss, denn 16 - $3$ = $13$.

Der gesuchte Bruch ist somit ⬜ = $\frac{◊}{\mathrm{12}}$ = $\frac{16}{12}$ = $\frac{4}{3}$.

Man kann erkennen, dass man beide Brüche auf den Nenner 9 bringen kann, indem man den 1. Bruch mit 3 erweitert:

$\frac{4}{3}$ $-$$\frac{10}{9}$

= $\frac{12}{9}$ $-$$\frac{10}{9}$

Jetzt kann man die beiden Brüche als einen Bruch mit dem gleichen Nenner schreiben:

= $\frac{\mathrm{12\; <mrow><mo>-</mo></mrow>\; 10}}{9}$

= $\frac{2}{9}$

Am unproblematischsten ist es, wenn man als erstes die gemischten Brüche in echte Brüche umwandelt:

$1\frac{2}{3}$ = $1+\frac{2}{3}$ = $\frac{3}{3}+\frac{2}{3}$ = $\frac{3+2}{3}$ = $\frac{5}{3}$

Man kann erkennen, dass man beide Brüche auf den Nenner 21 bringen kann, indem man den 1. Bruch mit 3 und den 2. Bruch mit 7 erweitert:

$-\frac{5}{7}$ + $\frac{5}{3}$

= $-\frac{15}{21}$ + $\frac{35}{21}$

Jetzt kann man die beiden Brüche als einen Bruch mit dem gleichen Nenner schreiben:

Dabei darf man nicht vergessen, das Vorzeichen in den Zähler hoch zu holen:

= $\frac{\mathrm{-15\; +\; 35}}{\mathrm{21}}$

= $\frac{20}{21}$

Wie immer beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen müssen erst alle Brüche auf den gleichen Nenner gebracht werden. Man kann erkennen, dass man dazu hier beide Brüche auf den Nenner 28 bringen kann, indem man den Bruch links vom Gleichheitszeichen mit 4 erweitert:

$-\frac{40}{28}$ + ⬜ = $-\frac{61}{28}$

Wenn wir jetzt den Nenner des gesuchten Bruchs auch auf 28 setzen, also ⬜ = $\frac{◊}{\mathrm{28}}$, müssen wir uns noch um die Zähler kümmern:

$-\frac{40}{28}$ + $\frac{◊}{\mathrm{28}}$ = $-\frac{61}{28}$

$-40$ + ◊ = $-61$

Jetzt erkennt man gut, dass die Raute ◊ = -21 sein muss, denn $-40$ + ( - 21 ) = $-61$.

Der gesuchte Bruch ist somit ⬜ = $\frac{◊}{\mathrm{28}}$ = $-\frac{21}{28}$ = $-\frac{3}{4}$.

Wir wissen ja, dass man Brüche nur dann addieren oder subtrahieren kann, wenn sie gleiche Nenner haben.
Deswegen erweitern wir auch hier den ersten Bruch mit 2:

$\frac{\mathrm{2\; \cdot \; 3}}{\mathrm{2\; \cdot \; ⬜}}$ + $\frac{1}{\mathrm{2\; \cdot \; ⬜}}$ = $\frac{1}{2}$

Auch wenn wir die Nenner auf der linken Seite nicht kennen, so sind (jetzt) doch beide Nenner gleich und wir können die Zähler miteinander verrechnen:

$\frac{6}{\mathrm{2\; \cdot \; ⬜}}$ + $\frac{1}{\mathrm{2\; \cdot \; ⬜}}$ = $\frac{1}{2}$

$\frac{\mathrm{6\; +\; 1}}{\mathrm{2\; \cdot \; ⬜}}$ = $\frac{1}{2}$

$\frac{7}{\mathrm{2\; \cdot \; ⬜}}$ = $\frac{1}{2}$

Um die beiden Brüche links und rechts vom Gleichheitszeichen besser vergleichen zu können, und weil wir ja den linken Nenner nicht kennen, versuchen wir eben die beiden Zähler gleich groß zu bekommen und erweitern deswegen den rechten Bruch mit 7:

$\frac{7}{\mathrm{2\; \cdot \; ⬜}}$ = $\frac{7}{14}$

Beide Zähler sind jetzt gleich, also müssen auch die beiden Nenner gleich sein, damit das Gleichheitszeichen stimmt:

2 ⋅ ⬜ = 14

Jetzt ist leicht zu erkennen:

⬜ = 7

Zur Sicherheit noch die Probe:
$\frac{3}{7}$ + $\frac{1}{14}$ = $\frac{6}{14}$ + $\frac{1}{14}$ = $\frac{7}{\mathrm{14}}$ = $\frac{1}{2}$

Als erstes sortieren wir die Brüche so um, dass die mit gleichen Nenner nebeneinander stehen:

$\frac{8}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$

Jetzt können wir ja die beiden ersten Brüche miteinander verrechnen:

$\frac{9}{3}$$+\frac{1}{9}$

= $3$$+\frac{1}{9}$

= $\frac{27}{9}$$+\frac{1}{9}$

= $\frac{28}{9}$

Zuerst bringen wir alle drei Brüche auf den gleichen Nenner. Als Hauptnenner bietet sich hier 24 an.

Wir erweitern also jeden Bruch auf den Haupnenner 24:

$-\frac{3}{2}+\frac{9}{8}-\frac{2}{3}$

= $-\frac{36}{24}+\frac{27}{24}-\frac{16}{24}$

= $-\frac{25}{24}$