Aufgabenbeispiele von Daten
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Relative Häufigkeiten
Beispiel:
Bei einer Umfrage unter Schüler:innen wurde gefragt, wie viele Personen in ihrem Haushalt leben. Dabei gaben 1 an, in einem 2-Personen-Haushalt zu leben, 6 in einem 3-Personen-Haushalt, 14 in einem 4-Personen-Haushalt und 4 Schüler:innen gaben an in einem Haushalt mit mindestens 5 Personen zu wohnen.Bestimme die relativen Häufigkeiten der verschiedenen Haushaltsgrößen bei den Schüler:innen in Prozent.
Zuerst addieren wir alle Schüler:innen zusammen und erhalten: 1 + 6 + 14 + 4 = 25
Um nun die relative Häufigkleit zu bestimmen, müssen wir einfach jede Zahl durch die Gesamtsumme 25 teilen:
Um dann aus dem Bruch auf die Prozentzahl zu kommen, müssen wir den Bruch so erweitern und evtl. wieder kürzen, dass der Nenner 100 wird:
2-Personen: = = 4%
3-Personen: = = 24%
4-Personen: = = 56%
5-Personen oder mehr: = = 16%
Relative Häufigkeiten rückwärts
Beispiel:
(Die Innenwinkel aller Sektoren
sind Vielfache von 45°)
Bei einer Datenerhebung werden 32 Personen befragt. Die prozentuale Anteile für die Optionen A, B und C sind in dem Kreisdiagramm rechts dargestellt.
Bestimme jeweils die tatsächlichen Anzahlen an Personen, die für A, B oder C gestimmt haben.
Da ja gegeben ist, dass alle Innenwinkel der Sektoren des Kreisdiagramms Vielfache von 45° sind, kann man schnnell die Innenwinkel der einzelnen Sektoren bestimemen:
A: 180°
B: 90°
C: 90°
Wenn wir nun diese Winkel durch 360° teilen, erhalten wir die relativen Häufigkeiten.
Diese müssen wir dann nur noch mit der Gesamtzahl n=32 multiplizieren, um auf die tatsächlichen Personenzahlen zu kommen:
| Option | relative Häufigkeit | tatsächliche Zahl |
|---|---|---|
| A | = | ⋅32 = 16 |
| B | = | ⋅32 = 8 |
| C | = | ⋅32 = 8 |
Mittelwert berechnen
Beispiel:
Bestimme den Mittelwert von: 900m; 400m; 800m; 500m; 400m
Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:
900m + 400m + 800m + 500m + 400m = 3000m
... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 5, teilen:
Mittelwert m = m = 600m
Mittelwert rückwärts
Beispiel:
Die Werte 2; 10; 9; 4; 10, ⬜ haben den Mittelwert 6.
Welchen Wert muss dann das Kästchen ⬜ haben?
Wir wissen ja, dass man den Mittelwert erhält, indem man alle Werte zusammenzählt und das Ergebnis durch die Anzahl der Werte dividiert, also:
= 6
Wenn wir nun alle Werte addieren erhalten wir:
= 6
Wenn wir die Summe im Zähler durch 6 teilen, erhalten wir 6.
Also muss doch die Summe im Zähler selbst gerade das 6-fache von 6, also 6 ⋅ 6 = 36 sein, also ...
35 + ⬜ = 36
Jetzt sieht man relativ leicht, dass dass Kästchen ⬜ = 36 - 35 sein muss.
⬜ = 1
Kenngrößen bestimmen
Beispiel:
Bestimme jeweils das Minimum, das Maximum, die Spannweite, den Mittelwert und den Modalwert von:
290€; 310€; 310€; 310€; 210€; 240€; 290€
Minimum und Maximum
Wenn man sich alle Werte durchschaut, erkennt man schnell, dass der kleinst Wert, also das Minimum 210€ und der größte Wert, also das Maximum 310€ ist.
Spannweite
Die Spannweite ist einfach die Differenz zwischen dem Maximum und dem Minimum, also 310€ - 210€ = 100€.
Mittelwert
Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:
290€ + 310€ + 310€ + 310€ + 210€ + 240€ + 290€ = 1960€
... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 7, teilen:
Mittelwert m = € = 280€
Modalwert
Weil der Modalwert der Wert ist, der am häufigsten auftritt, erstellen wir eine kleine Tabelle mit den Häufigkeiten der Werte:
| Zahl | Häufigkeit |
|---|---|
| 290€ | 2 |
| 310€ | 3 |
| 210€ | 1 |
| 240€ | 1 |
Der Modalwert ist also 310€, weil er als einziger 3 mal auftritt.
