Aufgabenbeispiele von proportional
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Zweisatz
Beispiel:
Eine erfahrende Langstreckenläuferin trainiert immer mit exakt dem gleichen Tempo. Für 1 km braucht sie 4 Minuten.
Wie lange braucht sie für 7 km?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 km in der ersten Zeile auf 7 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 7 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 4 min mit 7 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 7 km entspricht:
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⋅ 7
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⋅ 7
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⋅ 7
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⋅ 7
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 7 km entspricht: 28 min
Zweisatz rückwärts
Beispiel:
Beim Biohof Ökofarm bezahlt Herr Eggestein 3,50 € für 7 Eier.
Wie viel kostet 1 Ei?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 7 Eier in der ersten Zeile auf 1 Eier in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 7 teilen. Somit müssen wir auch die 350 ct durch 7 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Eier entspricht:
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: 7
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: 7
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: 7
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: 7
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 Eier entspricht: 50 ct
Einfacher Dreisatz
Beispiel:
Eine erfahrende Langstreckenläuferin trainiert immer mit exakt dem gleichen Tempo. Für 8 km braucht sie 48 Minuten.
Wie lange braucht sie für 12 km?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 12 sein, also der ggT(8,12) = 4.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 km:
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Um von 8 km in der ersten Zeile auf 4 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Somit müssen wir auch die 48 min durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 km entspricht:
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: 2
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: 2
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: 2
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: 2
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Jetzt müssen wir ja wieder die 4 km in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 12 km in der dritten Zeile zu kommen.
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: 2
⋅ 3
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: 2
⋅ 3
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Wir müssen somit auch rechts die 24 min in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren:
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: 2
⋅ 3
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: 2
⋅ 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 km entspricht: 72 min
Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 6 kg Birnen | 21,00 € |
| ? | ? |
| 9 kg Birnen | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die kg Birnen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 6 kg Birnen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 6 und von 9 sein, also der ggT(6,9) = 3.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 kg Birnen:
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Um von 6 kg Birnen in der ersten Zeile auf 3 kg Birnen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Somit müssen wir auch die 21 € durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 3 kg Birnen entspricht:
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: 2
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: 2
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: 2
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: 2
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Jetzt müssen wir ja wieder die 3 kg Birnen in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 9 kg Birnen in der dritten Zeile zu kommen.
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: 2
⋅ 3
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: 2
⋅ 3
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Wir müssen somit auch rechts die 10,50 € in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren:
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: 2
⋅ 3
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: 2
⋅ 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 9 kg Birnen entspricht: 31,50 €
Dreisatz (beide Richtungen)
Beispiel:
Ein Käseaufschnitt wiegt insgesamt 100 g. Er besteht aus 10 gleichen Scheiben.
Wie schwer sind dann 9 Scheiben Käse?
Wie viele Käsescheiben sind es bei 250 g Aufschnitt?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Scheiben Käse in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 Scheiben Käse teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 9 sein, also der ggT(10,9) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Scheiben Käse:
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Um von 10 Scheiben Käse in der ersten Zeile auf 1 Scheiben Käse in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 10 teilen. Somit müssen wir auch die 100 g durch 10 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Scheiben Käse entspricht:
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: 10
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: 10
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Scheiben Käse in der mittleren Zeile mit 9 multiplizieren, um auf die 9 Scheiben Käse in der dritten Zeile zu kommen.
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: 10
⋅ 9
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: 10
⋅ 9
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 9 Scheiben Käse entspricht: 90 g
Für die andere Frage (Wie viele Käsescheiben sind es bei 250 g Aufschnitt?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "g"-Werte haben und nach einem "Scheiben Käse"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die g in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 100 g teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 100 und von 250 sein, also der ggT(100,250) = 50.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 50 g:
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Um von 100 g in der ersten Zeile auf 50 g in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Somit müssen wir auch die 10 Scheiben Käse durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 50 g entspricht:
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: 2
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: 2
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Jetzt müssen wir ja wieder die 50 g in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 250 g in der dritten Zeile zu kommen.
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: 2
⋅ 5
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: 2
⋅ 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 250 g entspricht: 25 Scheiben Käse
Proportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.
Wir überprüfen zuerst, ob die 35 € den 16 kg Äpfel entsprechen.
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: 3
⋅ 4
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: 3
⋅ 4
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Der Wert 35 € war also falsch, richtig wäre 40 € gewesen.
Jetzt überprüfen wir, ob die 40 € den 18 kg Äpfel entsprechen.
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: 2
⋅ 3
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: 2
⋅ 3
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Der Wert 40 € war also falsch, richtig wäre 45 € gewesen.
