Wir suchen alle Teiler von 70. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 70 ist, teilen wir 70 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 70 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 70, denn 70 = 1 ⋅ 70, also ist auch 70 ein Teiler.

2 ist Teiler von 70, denn 70 = 2 ⋅ 35, also ist auch 35 ein Teiler.

3 ist kein Teiler von 70, denn 70 = 3 ⋅ 23 + 1.

4 ist kein Teiler von 70, denn 70 = 4 ⋅ 17 + 2.

5 ist Teiler von 70, denn 70 = 5 ⋅ 14, also ist auch 14 ein Teiler.

6 ist kein Teiler von 70, denn 70 = 6 ⋅ 11 + 4.

7 ist Teiler von 70, denn 70 = 7 ⋅ 10, also ist auch 10 ein Teiler.

8 ist kein Teiler von 70, denn 70 = 8 ⋅ 8 + 6.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 9 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 9 ⋅ 9 = 81 > 70, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 70:
1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70

Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also ⬜2.

Da an der letzten Stelle eine 2 steht, muss an der vorletzten Stelle eine ungerade Zahl (also 1, 3, 5, 7 oder 9) stehen, damit sie durch 4 teilbar ist (weil eben nur 12, 32, 52, 72, 92 durch 4 teilbar sind).

Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

1: Dann wäre die Zahl 712, für die Quersumme gilt dann: 7 + 1 + 2 = 10, also nicht durch 3 teilbar.

3: Dann wäre die Zahl 732, für die Quersumme gilt dann: 7 + 3 + 2 = 12, also durch 3 teilbar.

5: Dann wäre die Zahl 752, für die Quersumme gilt dann: 7 + 5 + 2 = 14, also nicht durch 3 teilbar.

7: Dann wäre die Zahl 772, für die Quersumme gilt dann: 7 + 7 + 2 = 16, also nicht durch 3 teilbar.

9: Dann wäre die Zahl 792, für die Quersumme gilt dann: 7 + 9 + 2 = 18, also durch 3 teilbar.

Die möglichen Ziffern sind also 3 und 9.

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 48 bilden:

2 + 46 = 48, dabei ist 46 aber keine Primzahl

3 + 45 = 48, dabei ist 45 aber keine Primzahl

5 + 43 = 48, dabei ist 43 auch eine Primzahl

5 und 43 wären also zwei Primzahlen mit 5 + 43 = 48

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 90 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

90
= 2 ⋅ 45
= 2 ⋅ 3 ⋅ 15
= 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 70 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

70
= 2 ⋅ 35
= 2 ⋅ 5 ⋅ 7

Jetzt suchen wir mithilfe dieser Primfaktorzerlegung alle Teiler von 70 :

1 Teiler

2 = 2
5 = 5
7 = 7

2 Teiler

2 ⋅ 5 = 10
2 ⋅ 7 = 14
5 ⋅ 7 = 35

3 Teiler

2 ⋅ 5 ⋅ 7 = 70

Dazu kommt natürlich immer noch die 1, die ja von jeder Zahl ein Teiler ist.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 70:
1; 2; 5; 7; 10; 14; 35; 70