Aufgabenbeispiele von Rückwärtsaufgaben
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p gesucht (n-te Wurzel)
Beispiel:
Bei einer Tombola werden elektronische Lose so verkauft, dass bei jedem Los jede Preiskategorie immer die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit hat. Aus Marketinggründen wird dabei auch ein Vierer-Pack angeboten. Dabei wird geworben, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 66% bei jedem Viererpack mindestens ein hochwertiger Preis dabei ist. Wie hoch muss man die Einzelwahrscheinlichkeit für einen hochwertigen Preis setzen, damit dieses Versprechen eingehalten wird?
(Bitte auf 3 Stellen runden!)
P=0.66 ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 1 Treffer bei bei 4 Durchgängen, also ist 1-P=0.34 die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei bei 4 Durchgängen.
Es gilt also 0.34=(1-p)4
=>1-p= ≈ 0.7636
Die gesuchte Einzelwahrscheinlichkeit p ist dann also 1-0.7636 ≈ 0.2364
gesuchtes p (ohne zurücklegen)
Beispiel:
Bei einer Tombola sind 55 Lose im Topf. Darunter sind auch einige Nieten. Um die Käufer nicht zu verärgern soll die Wahrscheinlichkeit, dass von 2 gleichzeitig gezogenen Losen höchstens eines davon eine Niete ist, bei mindestens 95% liegen. Wieviel der 55 Lose dürfen höchstens Nieten sein?
Anzahl der Nieten im Lostopf | P('höchstens eine Niete') |
---|---|
... | ... |
6 | 1-⋅=1-≈0.9899 |
7 | 1-⋅=1-≈0.9859 |
8 | 1-⋅=1-≈0.9811 |
9 | 1-⋅=1-≈0.9758 |
10 | 1-⋅=1-≈0.9697 |
11 | 1-⋅=1-≈0.963 |
12 | 1-⋅=1-≈0.9556 |
13 | 1-⋅=1-≈0.9475 |
... | ... |
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von 'höchstens eine Niete'.
Das Gegenereignis ('genau zwei Nieten') ist sehr viel einfacher zu berechnen (weil dies nur ein Pfad im Baumdiagramm ist): Wenn beispielsweise die Anzahl der Nieten im Lostopf=6 ist, dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für 'genau zwei Nieten'= ⋅ (beim ersten Zufallsversuch und beim zweiten weil dann ja bereits 'eine Kugel weniger im Topf ist'), also ist die Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete'=1-⋅
Wir erhöhen nun schrittweise immer die Anzahl der Nieten im Lostopf um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Gesamt-Wahrscheinlichkeit für 'höchstens eine Niete' auswirkt (siehe Tabelle links)
Als Startwert wählen wir als p=6. (man kann auch alles als Funktion in den WTR eingeben: y=1-x/55*(x-1)/54)
In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei 12 als 'Anzahl der Nieten im Lostopf' die gesuchte
Wahrscheinlichkeit über 95% auftritt.
Die gesuchte Anzahl der Nieten im Lostopf darf also höchstens 12 sein.