Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (197 + 403) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(197 + 403) mod 4 ≡ (197 mod 4 + 403 mod 4) mod 4.
197 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 197
= 200
403 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 403
= 400
Somit gilt:
(197 + 403) mod 4 ≡ (1 + 3) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (55 ⋅ 63) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(55 ⋅ 63) mod 9 ≡ (55 mod 9 ⋅ 63 mod 9) mod 9.
55 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 54 + 1 = 6 ⋅ 9 + 1 ist.
63 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 63 + 0 = 7 ⋅ 9 + 0 ist.
Somit gilt:
(55 ⋅ 63) mod 9 ≡ (1 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 95316 mod 983.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 953 -> x
2. mod(x²,983) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 9531=953
2: 9532=9531+1=9531⋅9531 ≡ 953⋅953=908209 ≡ 900 mod 983
4: 9534=9532+2=9532⋅9532 ≡ 900⋅900=810000 ≡ 8 mod 983
8: 9538=9534+4=9534⋅9534 ≡ 8⋅8=64 ≡ 64 mod 983
16: 95316=9538+8=9538⋅9538 ≡ 64⋅64=4096 ≡ 164 mod 983
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 411147 mod 683.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 147 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 147 an und zerlegen 147 in eine Summer von 2er-Potenzen:
147 = 128+16+2+1
1: 4111=411
2: 4112=4111+1=4111⋅4111 ≡ 411⋅411=168921 ≡ 220 mod 683
4: 4114=4112+2=4112⋅4112 ≡ 220⋅220=48400 ≡ 590 mod 683
8: 4118=4114+4=4114⋅4114 ≡ 590⋅590=348100 ≡ 453 mod 683
16: 41116=4118+8=4118⋅4118 ≡ 453⋅453=205209 ≡ 309 mod 683
32: 41132=41116+16=41116⋅41116 ≡ 309⋅309=95481 ≡ 544 mod 683
64: 41164=41132+32=41132⋅41132 ≡ 544⋅544=295936 ≡ 197 mod 683
128: 411128=41164+64=41164⋅41164 ≡ 197⋅197=38809 ≡ 561 mod 683
411147
= 411128+16+2+1
= 411128⋅41116⋅4112⋅4111
≡ 561 ⋅ 309 ⋅ 220 ⋅ 411 mod 683
≡ 173349 ⋅ 220 ⋅ 411 mod 683 ≡ 550 ⋅ 220 ⋅ 411 mod 683
≡ 121000 ⋅ 411 mod 683 ≡ 109 ⋅ 411 mod 683
≡ 44799 mod 683 ≡ 404 mod 683
Es gilt also: 411147 ≡ 404 mod 683
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-73-Inverse zur Zahl 33.
Also bestimme x, so dass 33 ⋅ x ≡ 1 mod 73 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 73 und 33
| =>73 | = 2⋅33 + 7 |
| =>33 | = 4⋅7 + 5 |
| =>7 | = 1⋅5 + 2 |
| =>5 | = 2⋅2 + 1 |
| =>2 | = 2⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(73,33)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 5-2⋅2 | |||
| 2= 7-1⋅5 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅5 -2⋅(7 -1⋅ 5)
= 1⋅5 -2⋅7 +2⋅ 5) = -2⋅7 +3⋅ 5 (=1) |
| 5= 33-4⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅7 +3⋅(33 -4⋅ 7)
= -2⋅7 +3⋅33 -12⋅ 7) = 3⋅33 -14⋅ 7 (=1) |
| 7= 73-2⋅33 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 3⋅33 -14⋅(73 -2⋅ 33)
= 3⋅33 -14⋅73 +28⋅ 33) = -14⋅73 +31⋅ 33 (=1) |
Es gilt also: ggt(73,33)=1 = -14⋅73 +31⋅33
oder wenn man -14⋅73 auf die linke Seite bringt:
1 +14⋅73 = +31⋅33
Es gilt also: 31⋅33 = 14⋅73 +1
Somit 31⋅33 = 1 mod 73
31 ist also das Inverse von 33 mod 73
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 37 und q = 67. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.
