Nach dem Satz des Pythagoras im Einheitskreis gilt immer:

(sin(α))² + (cos(α))² = 1

Umgestellt nach sin(α):

(sin(α))² = 1 - (cos(α))²

= 1 - ${\left(\frac{\sqrt{91}}{10}\right)}^2$

= 1 - $\frac{91}{100}$

= $\frac{9}{100}$

Damit glit für sin(α):

sin(α) = $\frac{3}{10}$ = 0.3

Am Einheitskreis kann man die Werte für sin(19°) und cos(19°) ablesen:

cos(19°) ist der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der orangen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (grüne) senkrechte Linie zur x-Aches verfolgt:

cos(19°) ≈ 0.95

Am Einheitskreis kann man den Wert für α ablesen:

cos(α) = 0.6 bedeutet, dass der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, 0.6 sein muss. Wenn man den den Winkel auf 53.1° setzt, so sieht man, dass der cos(53.1)°, also die Länge der orangen Strecke eben ≈ 0.6 ist.

cos(53.1°) ≈ 0.6

Am Einheitskreis kann man die Werte für sin(274°) und cos(274°) ablesen:

cos(274°) ist der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die (vorzeichenbehaftete) Länge der orangen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (grüne) senkrechte Linie zur x-Aches verfolgt:

cos(274°) ≈ 0.07

Am Einheitskreis kann man den Wert für α ablesen:

sin(α) = -1 bedeutet, dass der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis -1 sein muss. In der Skizze sieht man, dass dies nur für α₁ = 270° der Fall ist.

sin(270°) ≈ -1

Da ja ein (Einheits-)Kreis 360° als Gesamtwinkel hat, gelangt man nach weiterer Drehung um +360° oder -360° wieder genau zum ursprünglichen Punkt auf dem Einheitskreis (der somit natürlich wieder die gleichen Sinus- und Kosinuswerte besitzt).

Wir müssen also einfach ein Vielfaches von 360° zu unserem Ausgangswinkel 250° addieren oder subtrahieren um weitere Winkel zu erhalten, die auf der selben Position am einheitskreis zu finden sind und somit die gleichen Sinus- und Kosinuswerte besitzen:

Z.B. α = 250° + 360° = 610°, oder β = 250° + 2 ⋅ 360° = 970°, oder auch γ = 250° - 360° = -110° ...

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Kosinuswert (oranger waagrechter Strich) symmetrisch zur x-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 20° an der x-Achse spiegelt, erhält man doch einfach den negativen Winkel -20°, also eben in die falsche Richtung gedreht: mit dem Uhrzeiger und unten rum.

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

α = -20° + 360° = 340°

So erhalten wir die Funktion f(α) = 19 ⋅ sin(α).

1. Gesuchte Höhe zur Zeit t = 0.9 min

Um nun die gesuchte Höhe zur gegebenen Zeit zu berechnen, müssen wir zuerst den Winkel bestimmen, der nach 0.9 min erreicht wurde. Weil ja immer gleich viel Winkel pro Zeit 'zurückgelegt' wird, genügt hierfür ein Dreisatz :

2 min ≙ 360°
1 min ≙ $\frac{\mathrm{360}}{2}$ ° = 180°
0.9 min ≙ 180 ⋅ 0.9° ≈ 162°

sin(162°) ≈ 0.31, entsprechend ist 19 ⋅ sin(162°) ≈ 5.87

Also ist nach 0.9 min der y-Wert 5.87 m über dem Ausgangsniveau.

Weil das Ausgangsniveau ja 22 m ist, beträgt die gesuchte Höhe also 22 m +5.87 m
= 27.87 m.

2. Gesuchte Zeit zur gegebenen Höhe h = 31.5 m

Die gegebenen Höhe von h = 31.5 m entspricht gerade der Höhe 31.5 m - 22 m = 9.5 m über dem Nullniveau um das die Sinusfunktion schwingt.

Wir können nun nach dem Winkel suchen, bei dem f(α) = 19 ⋅ sin(α) = 9.5 gilt.

19 ⋅ sin(α) = 9.5 |: 19

sin(α) = 0.5 | arcsin(⋅) (WTR: sin^-1)

α ≈ 30°

Jetzt müssen wir den Dreisatz eben anders rum wie oben machen:

360° ≙ 2 min
1 ° ≙ $\frac{2}{\mathrm{360}}$ min = $\frac{1}{180}$ min
30° ≙ $\frac{1}{180}$ ⋅ 30 min ≈ 0.167 min

Somit ist nach 0,167 min die Höhe h = 31,5 m erreicht.

Am Schaubild sehen wir, dass es aber auch noch einen zweiten Winkel β mit 19 ⋅ sin(α) = 9.5 bzw. sin(β) = 0.5. Durch die Symmetrie erkennen wir, dass dieser weitere Winkel β gleich weit von 180° entfernt ist wie α, es gilt also β = 180°-α = 180°-30 = 150°.

Auch hier müssen wir wieder mit dem Dreisatz die zugehörige Zeit ermitteln:

360° ≙ 2 min
1 ° ≙ $\frac{2}{\mathrm{360}}$ min = $\frac{1}{180}$ min
150° ≙ $\frac{1}{180}$ ⋅ 150 min ≈ 0.833 min

Somit ist nach auch 0,833 min die Höhe h = 31,5 m erreicht.