Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=$\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Hypotenuse}}$

Damit folgt sin(β)=$\frac{\mathrm{5.83cm}}{\mathrm{7cm}}$=0.833 und somit β=56.4°

Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + α = 180°.
Somit gilt α = 90° - β° = 33.6°.

Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Aufgrund der Winkelsumme im ersten Dreieck folgt β + γ + 32° = 180°.

Daraus folgt β = 180° - 90° - 32° = 58°

Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:

Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(58°) = $\frac{g}{\mathrm{5.5cm}}$

Damit folgt g = sin(58°) ⋅ 5.5cm ≈ 4.7cm

Als Nebenwinkel von γ muss natürlich auch δ ein rechter Winkel sein.

Aufgrund der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss β und (α+32°) gleich groß sein. Damit gilt 58° = α + 32°, woraus folgt: α = 26°

Mit der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt nun ε = 90° - α = 90° - 26° = 64°

Nun können wir in diesem Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)= $\frac{g}{\mathrm{PQ}}$

Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(64°)=$\frac{\mathrm{4.7}}{\mathrm{PQ}}$

Damit folgt: PQ = $\frac{\mathrm{4.7}}{\mathrm{sin(64°)}}$ ≈ 5.2cm

Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:

(I) tan(24.9°)=$\frac{h}{x}$

In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:

(II) tan(20.4°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 7}}$

Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen

(I) tan(24.9°)=$\frac{h}{x}$ | ⋅ x

(I) tan(24.9°) ⋅ x =h |:tan(24.9°)

(I) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(24.9°)}}$

Jetzt die Gleichung (II):

(II) tan(20.4°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 7}}$ | ⋅ (x+ 7)

(II) tan(20.4°) ⋅ (x+ 7) = h |:tan(24.9°)

(II) x + 7= $\frac{h}{\mathrm{tan(20.4°)}}$ | -7

(II) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(20.4°)}}$ - 7

Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:

$\frac{h}{\mathrm{tan(24.9°)}}$ = $\frac{h}{\mathrm{tan(20.4°)}}$ - 7

$\frac{h}{\mathrm{0.4642}}$ = $\frac{h}{\mathrm{0.3719}}$ - 7

$\frac{1}{\mathrm{0.4642}}$ ⋅ h = $\frac{1}{\mathrm{0.3719}}$ ⋅ h - 7

2.1543 h = 2.6889 h - 7 | - 2.1543 + 7

7 = 0.5346 h | : 0.5346

13.0938 = h

Das Schulhaus ist also ungefähr h=13.1m hoch.

Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 10 und (zwischen A und B) c = 5 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man b (zwischen A und C), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

b² = 10² + 5²

b² = 100 + 25

b² = 125

b = $\sqrt{\mathrm{125}}$ ≈ 11.18

Da a (zwischen B und C) und c (zwischen A und B) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in B β = 90° sein.

Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:

tan(α) = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{\mathrm{10}}{5}$ = 2

Daraus folgt: α = arctan(2) ≈ 63.4°.

Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: γ = 90°-63.4° = 26.6°