Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f '= 0, wir suchen also die Nullstellen der Ableitungsfunktion f '.

Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von f, um eine Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) der Funktion f ' anschauen (hinreichende Bedingung).

Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten Ableitungsfunktion f '.

Wir erkennen bei x = 1 einen VZW in der Funktion f ' von + nach -. Also muss der Graph der Originalfunktion f bei x = 1 einen Hochpunkt haben.

Wir erkennen bei x = 3 einen VZW in der Funktion f ' von - nach +. Also muss der Graph der Originalfunktion f bei x = 3 einen Tiefpunkt haben.

Da Wendestellen immer Extremstellen der Ableitung sind, müssen wir in der Abbildung nur nach den Extremstellen von f suchen.

Diese erkennen wir leicht bei x = -2.

Nach dem Monotoniesatz genügt es die Intervalle zu finden, in denen die Ableitungsfunktion der Stammfunktion F, also der Funktion f, positiv bzw. negativ ist.

Wir erkennen: Im Intervall [-6;4] gilt: f(x) ≥ 0, also ist F monoton steigend.

Wir erkennen: Im Intervall [4;6] gilt: f(x) ≤ 0, also ist F monoton fallend.

Die Steigung der Tangente an den Graph von f, kurz die Tangentensteigung von f, ist f ', die Ableitung von f.

Da die Gerade g die Steigung -3 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = -3 haben. Es muss also f '(x) = -3 gelten.

Am Schaubild kann man f '(0) = -3 ablesen.

Die gesuchte Stelle ist also x = 0.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente F '(1) = f(1) = $0$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich F(1) = -3 am Schaubild ablesen:

Also gilt: F(1) + f(1) = -3 + 0 = $-3$.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f(2) = $2$ entnehmen, weil ja f die Ableitungsfunktion von F ist und somit die Tangentensteigung von F angibt.

Wir suchen also F(f(2)) = F($2$).

F($2$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

F(f(2)) = F($2$) = $-2$.

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(b)- F(a) oder $$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f\text{'}(x)}dx$$ = f(b)- f(a)

Wir können im Schaubild f(0) = 0 und f(3) = -3 ablesen.

Also gilt $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\mathrm{f\; \text{'}(x)}dx$$ = f(3)- f(0) = -3 - 0 = -3.

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(b)- F(a)

Wir können also F(2)- F(-1) durch den Wert des Integrals $$\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ aus dem Schaubild ablesen. Es entspricht dem orientierten Flächeninhalt der Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse im Intervall [-1;2] einschließt.

Dazu betrachten wir die beiden Dreiecksflächen:

I₁ = $\frac{1}{2}$⋅( - 3 )⋅1.5 = -2.25 (links)

I₂ = $\frac{1}{2}$⋅3⋅1.5 = 2.25 (rechts)

Wir erhalten also I=I₁+I₂ = 0 als orientierten Flächeninhalt.

Somit gilt: F(2)-F(-1) = 0

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$$\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = F(b)- F(a)

Oder anders ausgedrückt F(b) ist gerade um den Wert des Integrals größer als F(a).

Wir erkennen, dass zwischen x = -1.8 und x = -1.3 die Werte von f alle positiv sind, die Stammfunktion F ist hier also monton steigend. Also muss F(-1.3) > F(-1.8) sein.

Zwischen x=-1.3 und x=0.1 sind die Werte von f dagegen alle negativ, die Stammfunktion F muss hier also monton fallend sein. Folglich ist F(0.1) < F(-1.3).

Damit ist jetzt bereits klar, dass der Wert in der Mitte F(-1.3) der größte der drei Werte ist.

Um nun noch herauszufinden. ob F(-1.8)>F(0.1) oder F(0.1)>F(-1.8) gilt, schauen wir uns jeweils die Flächen unter der Kurve an, deren Inhalt sich ja mit dem entsprechenden Integral berechnen lässt.

Hierbei erkennt man klar:

$$\left|\underset{-1.8}{\overset{-1.3}{\int }}\mathrm{f(x)}dx\right|$$ < $$\left|\underset{-1.3}{\overset{0.1}{\int }}\mathrm{f(x)}dx\right|$$

Das bedeutet, dass der Zuwachs im linken Interval zwischen -1.8 und -1.3 kleiner ist als die Abnahme im rechten Interval zwischen -1.3 und 0.1.

Also muss F(-1.8) größer als F(0.1) sein. Insgesamt gilt:

F(0.1) < F(-1.8) < F(-1.3)

Da Wendestellen immer Extremstellen der Ableitung sind, müssen wir in der Abbildung nur nach den Extremstellen von f suchen.

Diese erkennen wir leicht bei x = 0.

1. Eine Nullstelle hat natürlich jede Integralfunktion, nämlich die untere Intergralgrenze, da ja $$\underset{\mathrm{c}}{\overset{\mathrm{c}}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = 0 für alle c gilt. Somit ist x = -2 eine Nullstelle von J_-2.
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
2. Eine weitere Nullstelle können wir ca. bei x = 1.5 erkennen, weil man am Graph beim Integral $$\underset{-2}{\overset{1.5}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ zwei gleichgroße Flächen je über und unter der x-Achse erkennen kann, so dass sich dabei die negative und positive Teilfläche gegenseitig aufheben. Somit gilt $$\underset{-2}{\overset{1.5}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ =0 und J_-2(1.5) = 0, J_-2 hat also bei x = 1.5 eine Nullstelle.
3. Eine weitere Nullstelle können wir ca. bei x = 5 erkennen, weil man am Graph beim Integral $$\underset{1.5}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ zwei gleichgroße Flächen je über und unter der x-Achse erkennen kann, so dass sich dabei die negative und positive Teilfläche gegenseitig aufheben. Somit gilt $$\underset{1.5}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ =0 und J_-2(5) = $$\underset{-2}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = $$\underset{-2}{\overset{1.5}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ + $$\underset{1.5}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = 0 + 0 = 0, J_-2 hat also bei x = 5 eine Nullstelle.
4. Eine weitere Nullstelle können wir ca. bei x=-5.5 erkennen, weil man am Graph beim Integral $$\underset{-5.5}{\overset{-2}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ zwei gleichgroße Flächen je über und unter der x-Achse erkennen kann, so dass sich dabei die negative und positive Teilfläche gegenseitig aufheben. Somit gilt $$\underset{-5.5}{\overset{-2}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = 0 und J_-2(-5.5) = $$\underset{-2}{\overset{-5.5}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = - $$\underset{-5.5}{\overset{-2}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ = 0, J_-2 hat also bei x = -5.5 eine Nullstelle.

An den Rändern kann man erkennen, dass es keine weiteren Teilflächen gibt, die sich aufheben könnten.

Somit hat die Integralfunktion J_-2(x) = $$\underset{-2}{\overset{\mathrm{x}}{\int }}\mathrm{f(t)}dt$$ im abgebildeten Bereich 4 Nullstellen.