$$\underset{3}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ gibt den orientierten (also mit Vorzeichen behafteten) Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f und der x-Achse an.

Um diesen aus dem Schaubild zu berechnen unterteilen wir die Fläche in Rechtecke, Parallelogramme und ggf. Dreiecke:

I₂ = $$\underset{3}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₂ = $\frac{\mathrm{(5\; -\; 3)\; \cdot \; <mn>2</mn>}}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

I₃ = $$\underset{5}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ : Dreiecksfläche I₃ = $\frac{\mathrm{(8\; -\; 5)\; \cdot \; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>4</mn>\; <mo>)</mo>}}{2}$ = $\frac{\mathrm{-12}}{2}$ = -6.

Somit gilt:

$$\underset{3}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = I₂ + I₃ = $$\underset{3}{\overset{5}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ + $$\underset{5}{\overset{8}{\int }}\mathrm{f(x)}dx$$ = 2 -6 = -4

= ${\left[-\frac{2}{3}{x}^3-2x\right]}_0^2$

$=$ $-\frac{2}{3}\cdot 2^3-2\cdot 2-\left(-\frac{2}{3}\cdot 0^3-2\cdot 0\right)$

= $-\frac{2}{3}\cdot 8-4-\left(-\frac{2}{3}\cdot 0+0\right)$

= $-\frac{16}{3}-4-\left(0+0\right)$

= $-\frac{16}{3}-\frac{12}{3}+0$

= $-\frac{28}{3}$

= ${\left[4\cdot \cos \left(x\right)+3\cdot \sin \left(x\right)\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $4\cdot \cos \left(\frac{3}{2}\pi \right)+3\cdot \sin \left(\frac{3}{2}\pi \right)-\left(4\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)+3\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)\right)$

= $4\cdot 0+3\cdot \left(-1\right)-\left(4\cdot 0+3\cdot 1\right)$

= $0-3-\left(0+3\right)$

= $-3-3$

= $-6$

= ${\left[-\frac{1}{3}\cdot \cos (3x+\pi )\right]}_{\frac{1}{2}\pi }^{\pi }$

$=$ $-\frac{1}{3}\cdot \cos (3\cdot \pi +\pi )+\frac{1}{3}\cdot \cos (3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)+\pi )$

= $-\frac{1}{3}\cdot \cos \left(4\pi \right)+\frac{1}{3}\cdot \cos \left(\frac{5}{2}\pi \right)$

= $-\frac{1}{3}\cdot 1+\frac{1}{3}\cdot 0$

= $-\frac{1}{3}+0$

= $-\frac{1}{3}+0$

= $-\frac{1}{3}$

= ${\left[-9\cdot \sin \left(x\right)+2\cdot \cos \left(x\right)\right]}_0^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $-9\cdot \sin \left(\frac{3}{2}\pi \right)+2\cdot \cos \left(\frac{3}{2}\pi \right)-\left(-9\cdot \sin \left(0\right)+2\cdot \cos \left(0\right)\right)$

= $-9\cdot \left(-1\right)+2\cdot 0-\left(-9\cdot 0+2\cdot 1\right)$

= $9+0-\left(0+2\right)$

= $9-2$

= $7$

= ${\left[-e^{-3x+3}\right]}_2^3$

$=$ $-e^{-3\cdot 3+3}+e^{-3\cdot 2+3}$

= $-e^{-9+3}+e^{-6+3}$

= $-e^{-6}+e^{-3}$

= ${\left[-x^3+\frac{3}{2}t{x}^2\right]}_0^3$

$=$ $-3^3+\frac{3}{2}t\cdot 3^2-\left(-0^3+\frac{3}{2}t\cdot 0^2\right)$

= $-27+\frac{3}{2}t\cdot 9-\left(-0+\frac{3}{2}t\cdot 0\right)$

= $-27+\frac{27}{2}t-\left(0+0\right)$

= $-\frac{54}{2}+\frac{27}{2}t+0$

= $\frac{27}{2}t-27$

Dieses Integral $\frac{27}{2}t-27$ muss nun gleich $\frac{27}{2}$ sein:

Der gesuchte t-Wert ist somit $3$.