f(0) = $28$

f(1) = $28$ ⋅ $\mathrm{1,05}$

f(2) = $28$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$

f(3) = $28$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$

f(4) = $28$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,05}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,05}$-fache, also auf $105$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 105% - 100% = 5 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 14% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{14}{100}$⋅B = (1 - $\frac{14}{100}$) ⋅ B = 0,86 ⋅ B. Somit ist das a=0,86.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot {\mathrm{0,86}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Tage, also f(6):

f(6) = $10\cdot {\mathrm{0,86}}^6$ ≈ 4,046.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 0.7 kg ist, also f(t) = 0.7:

$10\cdot {\mathrm{0,86}}^t$	=	$\mathrm{0,7}$	|:$10$
${\mathrm{0,86}}^t$	=	$\mathrm{0,07}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,86}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,07}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,86}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,07}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,86}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,07}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,86}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{17,6317}$

Nach ca. 17,632 Tage ist also der Bestand = 0.7 kg.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=12 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 9.51 Millionen Insekten ist, also f(2) = 9.51. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot a^t$ ein:

$12a^2$	=	$\mathrm{9,51}$	|:$12$
$a^2$	=	$\mathrm{0,7925}$	|
a1	=	$-\sqrt{\mathrm{0,7925}}$	≈ $-\mathrm{0,89}$
a2	=	$\sqrt{\mathrm{0,7925}}$	≈ $\mathrm{0,89}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,89}$ ≈ 0.89 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot {\mathrm{0,89}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $12\cdot {\mathrm{0,89}}^{11}$ ≈ 3,33.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3:

$12\cdot {\mathrm{0,89}}^t$	=	$3$	|:$12$
${\mathrm{0,89}}^t$	=	$\frac{1}{4}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,89}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{4}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,89}\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{4}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,89}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1}{4}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,89}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{11,8961}$

Nach ca. 11,896 Jahre ist also der Bestand = 3 Millionen Insekten.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 3.6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.6% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3.6}{100}$⋅B = (1 - $\frac{3.6}{100}$) ⋅ B = 0,964 ⋅ B. Somit ist das a=0,964.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,964}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 44.14 Millionen Einwohner ist, also f(6) = 44.14. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,964}}^t$ ein:

c ⋅ 0.964⁶ = 44.14

c ⋅ 0.80253 = 44.14 | : 0.80253

c = 55

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot {\mathrm{0,964}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $55\cdot {\mathrm{0,964}}^7$ ≈ 42,55.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 47.5 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 47.5:

$55\cdot {\mathrm{0,964}}^t$	=	$\mathrm{47,5}$	|:$55$
${\mathrm{0,964}}^t$	=	$\mathrm{0,8636}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,964}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8636}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,964}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8636}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,964}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,8636}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,964}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{3,9997}$

Nach ca. 4 Jahre ist also der Bestand = 47.5 Millionen Einwohner.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,967}}^t$ ablesen: a=0.967.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.967($\frac{1}{2}$) ≈ 20.66 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Zunahme um 22% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 22% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{22}{100}$⋅B = (1 + $\frac{22}{100}$) ⋅ B = 1,22 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,22.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.22($2$) ≈ 3.49 Wochen

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 22 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 3 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^3$	=	$2$	|
$a$	=	$\sqrt[3]{2}$

Das gesuchte a ist somit $\sqrt[3]{2}$ ≈ 1.26, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $22\cdot {\mathrm{1,26}}^t$