Wir suchen den Logarithmus von $81$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $81$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $81$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $4$, eben weil $3$^$4$ = $81$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\frac{1}{27}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\frac{1}{27}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\frac{1}{27}$ gilt.

An dem Bruch mit der 1 im Zähler kann man schnell erkennen, dass die Hochzahl negativ sein muss. Um auf den Betrag des gesuchten Exponenten zu kommen, können wir auch zuerst mal nur den Nenner als $3$-Potenz zu schreiben versuchen, also $3$^☐ = $\frac{1}{27}$

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $-3$, eben weil $3$^$-3$ = $\frac{1}{27}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\sqrt{64}$ um: $\sqrt{64}$ = ${64}^{\frac{1}{2}}$

Man kann erkennen, dass $64$ eine Potenz ist: $64$ = $4^3$

Also schreiben wir $\sqrt{64}$ = ${64}^{\frac{1}{2}}$ = ${\left(4^3\right)}^{\frac{1}{2}}$ = $4^{\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von $4^{\frac{3}{2}}$ zur Basis $4$ suchen, also die Hochzahl mit der man $4$ potenzieren muss, um auf $4^{\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $4$^☐ = $4^{\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = $\frac{3}{2}$, eben weil $4$^{$\frac{3}{2}$} = $\sqrt{64}$ gilt .

Wir suchen $3$er-Potenzen in der Näher von $24$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $24$ ist.

Dabei kommt man auf $3^2$ = 3² < $24$ und auf $3^3$ = 3³ > $24$.

Und da wir bei ja das ☐ von 3^☐ = $24$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 2 und 3 liegen, wegen:
3² = $3^2$ < $24$ < $3^3$ = 3³

Es gilt somit: 2 < < 3

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000000000x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000000\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^9\right)+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $9+\lg \left(x\right)+4\lg \left(x\right)$
= $5\lg \left(x\right)+9$

$\lg \left(250000000\right)$ + $\lg \left(4\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (250000000·4)$

= $\lg \left(1000000000\right)$

= $\lg \left({10}^9\right)$

= 9

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)+\lg \left(x^3\right)$
= $\lg \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)+\lg \left(x^3\right)$
= $-\frac{1}{2}\lg \left(x\right)+3\lg \left(x\right)$
= $\frac{5}{2}\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{200}{x}^2\right)-\lg \left(\frac{1}{4}{x}^2\right)-\lg \left(\frac{1}{50}{x}^5\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{200}\right)+\lg \left(x^2\right)-(\lg \left(\frac{1}{4}\right)+\lg \left(x^2\right))-(\lg \left(\frac{1}{50}\right)+\lg \left(x^5\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{200}\right)+\lg \left(x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-\lg \left(x^2\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-\lg \left(x^5\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{200}\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{4}\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(\frac{1}{50}\right)-5\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(200\right)+2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(4\right)-2\lg \left(x\right)-\lg \left(1\right)+\lg \left(50\right)-5\lg \left(x\right)$

= $-5\lg \left(x\right)-\lg \left(200\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{200}·50·4)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{4}·4)$

= $-5\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $-5\lg \left(x\right)$