$\text{f(x)}=$ $-5+e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $-3e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $x^3·e^{-4x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{-4x-4}+x^3·e^{-4x-4}·\left(-4\right)$

= $3x^2·e^{-4x-4}+x^3·\left(-4e^{-4x-4}\right)$

= $3x^2·e^{-4x-4}-4x^3·e^{-4x-4}$

= $e^{-4x-4}·\left(3x^2-4x^3\right)$

= $e^{-4x-4}·\left(-4x^3+3x^2\right)$

= $\left(-4x^3+3x^2\right)·e^{-4x-4}$

$\text{f(x)}=$ $\left(5x^4+5x\right)·e^{-3x}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(20x^3+5\right)·e^{-3x}+\left(5x^4+5x\right)·e^{-3x}·\left(-3\right)$

= $\left(20x^3+5\right)·e^{-3x}+\left(5x^4+5x\right)·\left(-3e^{-3x}\right)$

= $\left(20x^3+5\right)·e^{-3x}-3\left(5x^4+5x\right)·e^{-3x}$

= $e^{-3x}·(20x^3+5+\left(-15x^4-15x\right))$

= $e^{-3x}·\left(-15x^4+20x^3-15x+5\right)$

= $\left(-15x^4+20x^3-15x+5\right)·e^{-3x}$

$\text{f(x)}=$ $9\ln \left(4x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{9}{4x}·4$

= $\frac{9}{x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(2x+8\right)·\sin \left(x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·\sin \left(x^3\right)+\left(2x+8\right)·\cos \left(x^3\right)·3x^2$

= $2\cdot \sin \left(x^3\right)+\left(2x+8\right)·3\cos \left(x^3\right)x^2$

= $2\cdot \sin \left(x^3\right)+3\left(2x+8\right)\cos \left(x^3\right)x^2$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $4e^{\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $4e^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{3,8}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{3,8}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{3,61}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $\mathrm{3,61}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{3,4295}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{3,4295}{e}^{\mathrm{0,95}x}·\mathrm{0,95}$ = $\mathrm{3,258}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 72-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 72 mal mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\mathrm{0,95}}^{72}$

Somit gilt für die 72-te Ableitung:

f⁽⁷²⁾(x) = ${\mathrm{0,95}}^{72}·4e^{\mathrm{0,95}x}$

= $\mathrm{0,1}{e}^{\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+7x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)+7$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}+\left(x+1\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)+7$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{0,6}\left(x+1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+7$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}x-\mathrm{0,6}+1\right)+7$

= $7+\left(-\mathrm{0,6}x-\mathrm{0,6}+1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $7+\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{0,4}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$