$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{4}\cdot \sin \left(-x+4\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{4}\cdot \cos \left(-x+4\right)·\left(-1+0\right)$

= $\frac{3}{4}\cdot \cos \left(-x+4\right)·\left(-1\right)$

= $-\frac{3}{4}\cdot \cos \left(-x+4\right)$

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\sqrt{x+5}$

= $-\frac{1}{2}{\left(x+5\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{1}{4}{\left(x+5\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(1+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{4\sqrt{x+5}}·\left(1+0\right)$

= $-\frac{1}{4\sqrt{x+5}}·\left(1\right)$

= $-\frac{1}{4\sqrt{x+5}}$

$\text{f(x)}=$ $-3\sqrt{3x^2-5}$

= $-3{\left(3x^2-5\right)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $-\frac{3}{2}{\left(3x^2-5\right)}^{-\frac{1}{2}}·\left(6x+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2\cdot \sqrt{3x^2-5}}·\left(6x+0\right)$

= $-\frac{3}{2\cdot \sqrt{3x^2-5}}·\left(6x\right)$

= $-9\frac{x}{\sqrt{3x^2-5}}$

Wir können der Zeichnung rechts f(-1) = -2 entnehmen.

Also gilt h(-1) = g(f(-1)) = g(-2)

g(-2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-1) = g(f(-1)) = g(-2) = 3.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 0 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-2|0), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
0 = g(-2)
Wegen 0 = h(x)= g(f(x))= g(-2) gilt also f(x) = -2.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-2 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-2|-2) und Q₂(0|-2), also bei
x₁ = -2 und x₂ = 0

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-1) = $-2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-1)) = f($-2$).

f($-2$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-1)) = f($-2$) = $2$.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 0 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(0|0), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
0 = g(0)
Wegen 0 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(2|0) und Q₂(-2|0), also bei
x₁ = 2 und x₂ = -2

$\text{f(x)}=$ $\sin \left(x\right)·\left(-4x^4+2x^3\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(x\right)·\left(-4x^4+2x^3\right)+\sin \left(x\right)·\left(-16x^3+6x^2\right)$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·{\left(5x-4\right)}^3$

= $x^{\frac{1}{2}}·{\left(5x-4\right)}^3$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·{\left(5x-4\right)}^3+x^{\frac{1}{2}}·3{\left(5x-4\right)}^2·\left(5+0\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·{\left(5x-4\right)}^3+\sqrt{x}·3{\left(5x-4\right)}^2·\left(5+0\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{{\left(5x-4\right)}^3}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·3{\left(5x-4\right)}^2·\left(5\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{{\left(5x-4\right)}^3}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·15{\left(5x-4\right)}^2$

= $\frac{1}{2}\frac{{\left(5x-4\right)}^3}{\sqrt{x}}+15\sqrt{x}{\left(5x-4\right)}^2$

$\text{f(x)}=$ $\sqrt{x}·{\left(-4x-5\right)}^2$

= $x^{\frac{1}{2}}·{\left(-4x-5\right)}^2$

=> f'(x) = $\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}·{\left(-4x-5\right)}^2+x^{\frac{1}{2}}·(2\left(-4x-5\right)·\left(-4+0\right))$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}·{\left(-4x-5\right)}^2+\sqrt{x}·(2\left(-4x-5\right)·\left(-4+0\right))$

= $\frac{1}{2}\frac{{\left(-4x-5\right)}^2}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·(2\left(-4x-5\right)·\left(-4\right))$

= $\frac{1}{2}\frac{{\left(-4x-5\right)}^2}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}·\left(-8\left(-4x-5\right)\right)$

= $\frac{1}{2}\frac{{\left(-4x-5\right)}^2}{\sqrt{x}}-8\sqrt{x}\left(-4x-5\right)$

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x$)⋅g(x) + ( $x^2-9$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell die Nullstellen von g bei x = -5, bei x = 3 und bei x = 0.
(also gilt g(-5) = g(-5) = g(-5) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Nullstelle bei x = 3, wodurch in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(3) = f'(3)⋅g(3) + f(3)⋅g'(3) = f'(3)⋅0 + 0⋅g'(3) = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 3 eine waagrechte Tangente.

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

Das bedeutet, dass f(-2)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -2 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -2) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -2 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -2, dass dies gerade 2 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 2 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -2) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2x+2$)⋅g(x) + ( $x^2+2x-8$)⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir sofort, dass bei x = 4 sowohl eine Nullstelle als auch eine waagrechte Tangente vorliegt,
es gilt also: g(4) = g'(4) = 0.

Somit ist bei x = 4 in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor,
es gilt also h'(4) = f'(4)⋅g(4) + f(4)⋅g'(4) = f'(4)⋅0 + f(4)⋅0 = 0.

Damit hat h an der Stelle x = 4 eine waagrechte Tangente.