$x^{-8}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^8}$.

Also ist $5x^{-8}$ das gleiche wie $5·\frac{1}{x^8}$ = $\frac{5}{x^8}$.

Eine 8-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{8}$} schreiben, also gilt hier: ${\left(\sqrt[8]{x}\right)}^5$ = ${\left(x^{\frac{1}{8}}\right)}^5$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${\left(x^{\frac{1}{8}}\right)}^5$ = x^{$\frac{1}{8}$⋅5} = $x^{\frac{5}{8}}$

$\frac{1}{x^4}$ kann man auch als $x^{-4}$ schreiben.

Also ist $\frac{7}{x^4}$ = $7·\frac{1}{x^4}$ das gleiche wie $7x^{-4}$.

${121}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{121}$

= $11$

$2^{30}$ : $2^{25}$

= $2^{30-25}$

= $2^5$

= 32

${\mathrm{0,008}}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{\mathrm{0,008}}$

= $\mathrm{0,2}$

${\left(3^{12}\right)}^{\frac{1}{3}}$

= $3^{12·\frac{1}{3}}$

= $3^4$

= $81$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[6]{x^2}·\sqrt[3]{x^4})}^6$

= ${(x^{\frac{2}{6}}\cdot x^{\frac{4}{3}})}^6$

= ${(x^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{4}{3}})}^6$

= ${\left(x^{\frac{1}{3}+\frac{4}{3}}\right)}^6$

= ${\left(x^{\frac{5}{3}}\right)}^6$

= $x^{\frac{5}{3}·6}$

= $x^{10}$

$\frac{\frac{9}{v^3}}{12v^{-4}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{9}{v^3}}{\frac{12}{v^4}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{9}{v^3}·\frac{v^4}{12}$

= $\frac{3}{4}v$