Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{4}}{x^{3}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{4}}{x^{3}}$

= $x^{4 - 3}$

= $x$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{{(- 15)}^{2}}{{(- 15)}^{4}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{{(- 15)}^{2}}{{(- 15)}^{4}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{{(- 15)}^{2}}{{(- 15)}^{4}}$

= $\frac{(- 15) \cdot (- 15)}{(- 15) \cdot (- 15) \cdot (- 15) \cdot (- 15)}$

= $\frac{1}{(- 15) \cdot (- 15)}$

= $\frac{1}{225}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{{(- 15)}^{2}}{{(- 15)}^{4}}$

= ${(- 15)}^{2 - 4}$

= ${(- 15)}^{- 2}$

= $\frac{1}{{(- 15)}^{2}}$

= $\frac{1}{225}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 2 x^{3}}{2 x^{5}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 2 x^{3}}{2 x^{5}}$ = $\frac{- 2 \cdot x^{3}}{2 \cdot x^{5}}$ = $- \frac{x^{3}}{x^{5}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- 1$ $x^{3 - 5}$

= $- x^{- 2}$

= $- \frac{1}{x^{2}}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 9 x^{- 6}}{3 x^{7}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 9 x^{- 6}}{3 x^{7}}$ = $\frac{- 9 \cdot x^{- 6}}{3 \cdot x^{7}}$ = $- 3 \frac{x^{- 6}}{x^{7}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- 3$ $x^{- 6 - 7}$

= $- 3 x^{- 13}$

= $- \frac{3}{x^{13}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $(x^{7} + x^{4}) \cdot x^{3} - 3 x^{7}$

Lösung einblenden

$(x^{7} + x^{4}) \cdot x^{3} - 3 x^{7}$

= $x^{7} \cdot x^{3} + x^{4} \cdot x^{3} - 3 x^{7}$

= $x^{10} + x^{7} - 3 x^{7}$

= $x^{10} - 2 x^{7}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{6^{x}}{2^{x}}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$\frac{6^{x}}{2^{x}}$

= ${(\frac{6}{2})}^{x}$

= $3^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $7^{2}$ ⋅ $2^{2}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $7^{2} \cdot 2^{2}$

= $7 \cdot 7$ ⋅ $2 \cdot 2$

= $7 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 2$

= ${(7 \cdot 2)}^{2}$

= $14^{2}$

= $196$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{4})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{4})}^{2}$

= $x^{4 \cdot 2}$

= $x^{8}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 \cdot 3^{x})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 \cdot 3^{x})}^{2}$

= $2^{2} \cdot {(3^{x})}^{2}$

= $2^{2} \cdot 3^{x \cdot 2}$

= $4 \cdot 3^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $4 \cdot {(3^{2})}^{x}$

= $4 \cdot 9^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{5^{- 8}}{2^{8}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{5^{- 8}}{2^{8}}$

= $\frac{1}{5^{8}} \cdot \frac{1}{2^{8}}$

= $\frac{1}{{(5 \cdot 2)}^{8}}$

= $\frac{1}{10^{8}}$

= $\frac{1}{100000000}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{16 \cdot 4^{3} - 3 \cdot 4^{4}}{4^{4}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 16 als 4 ⋅ 4 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{16 \cdot 4^{3} - 3 \cdot 4^{4}}{4^{4}}$

= $\frac{4 \cdot 4 \cdot 4^{3} - 3 \cdot 4^{4}}{4^{4}}$

= $\frac{4 \cdot 4^{4} - 3 \cdot 4^{4}}{4^{4}}$

= $\frac{(4 - 3) \cdot 4^{4}}{4^{4}}$

= $4 - 3$

= $1$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x + 5)}^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

= $\frac{{(x + 5)}^{2}}{{((x + 5) \cdot (x - 5))}^{2}}$

= $\frac{{(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2} \cdot {(x - 5)}^{2}}$

= $\frac{1}{1 \cdot {(x - 5)}^{2}}$

= $\frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$

Aufgabenbeispiele von Potenzgesetze

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln