$3\sqrt{-3x+4}$	=	$12$	|:$3$
$\sqrt{-3x+4}$	=	$4$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$-3x+4$	=	$4^2$

$-3x+4$	=	$16$	| $-4$
$-3x$	=	$12$	|:($-3$)
$x$	=	$-4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-4$

Linke Seite: x = $-4$ in $3\sqrt{-3x+4}$ $=$ $3\sqrt{-3\cdot \left(-4\right)+4}$ = $3\sqrt{12+4}$ = $3\sqrt{16}$ = $12$

Rechte Seite: x = $-4$ in $12$ $=$ $12$

Also 12 = 12

x = $-4$ ist somit eine Lösung !

L={ $-4$}

$\sqrt{-13x-16}+2$	=	$x$	| $-2$
$\sqrt{-13x-16}$	=	$x-2$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$-13x-16$	=	${\left(x-2\right)}^2$

$-13x-16$

=

$x^2-4x+4$

| $-x^2$ $+4x$ $-4$

$-x^2-9x-20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+9\pm \sqrt{{\left(-9\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-20\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+9\pm \sqrt{81-80}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+9\pm \sqrt{1}}{-2}$

x₁ = $\frac{9+\sqrt{1}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>9</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{10}{-2}$ = $-5$

x₂ = $\frac{9-\sqrt{1}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>9</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{-2}$ = $-4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-5$

Linke Seite: x = $-5$ in $\sqrt{-13x-16}+2$ $=$ $\sqrt{-13\cdot \left(-5\right)-16}+2$ = $\sqrt{65-16}+2$ = $\sqrt{49}+2$ = $7+2$ = $9$

Rechte Seite: x = $-5$ in $x$ $=$ $-5$

Also 9 ≠ -5

x = $-5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $-4$

Linke Seite: x = $-4$ in $\sqrt{-13x-16}+2$ $=$ $\sqrt{-13\cdot \left(-4\right)-16}+2$ = $\sqrt{52-16}+2$ = $\sqrt{36}+2$ = $6+2$ = $8$

Rechte Seite: x = $-4$ in $x$ $=$ $-4$

Also 8 ≠ -4

x = $-4$ ist somit keine Lösung !

L={}

$\sqrt{15x+109}$	=	$2\sqrt{3x+25}$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$15x+109$	=	${\left(2\sqrt{3x+25}\right)}^2$

$15x+109$	=	$4\left(3x+25\right)$
$15x+109$	=	$12x+100$	| $-109$
$15x$	=	$12x-9$	| $-12x$
$3x$	=	$-9$	|:$3$
$x$	=	$-3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-3$

Linke Seite: x = $-3$ in $\sqrt{15x+109}$ $=$ $\sqrt{15\cdot \left(-3\right)+109}$ = $\sqrt{-45+109}$ = $\sqrt{64}$ = $8$

Rechte Seite: x = $-3$ in $2\sqrt{3x+25}$ $=$ $2\sqrt{3\cdot \left(-3\right)+25}$ = $2\sqrt{-9+25}$ = $2\sqrt{16}$ = $8$

Also 8 = 8

x = $-3$ ist somit eine Lösung !

L={ $-3$}

$\sqrt{5x-9}$	=	$\sqrt{3x-6}+1$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5x-9$	=	${\left(\sqrt{3x-6}+1\right)}^2$

$5x-9$	=	$2\sqrt{3x-6}+3x-5$	| $-5x$ $+9$ $-2\sqrt{3x-6}$
$-2\sqrt{3x-6}$	=	$-2x+4$	|:($-2$)
$\sqrt{3x-6}$	=	$x-2$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3x-6$	=	${\left(x-2\right)}^2$

$3x-6$

=

$x^2-4x+4$

| $-x^2$ $+4x$ $-4$

$-x^2+7x-10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-7\pm \sqrt{7^2-4·\left(-1\right)·\left(-10\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-7\pm \sqrt{49-40}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-7\pm \sqrt{9}}{-2}$

x₁ = $\frac{-7+\sqrt{9}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>7</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{-2}$ = $2$

x₂ = $\frac{-7-\sqrt{9}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>7</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-10}{-2}$ = $5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite: x = $2$ in $\sqrt{5x-9}$ $=$ $\sqrt{5\cdot 2-9}$ = $\sqrt{10-9}$ = $\sqrt{1}$ = $1$

Rechte Seite: x = $2$ in $\sqrt{3x-6}+1$ $=$ $\sqrt{3\cdot 2-6}+1$ = $\sqrt{6-6}+1$ = $\sqrt{0}+1$ = $0+1$ = $1$

Also 1 = 1

x = $2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite: x = $5$ in $\sqrt{5x-9}$ $=$ $\sqrt{5\cdot 5-9}$ = $\sqrt{25-9}$ = $\sqrt{16}$ = $4$

Rechte Seite: x = $5$ in $\sqrt{3x-6}+1$ $=$ $\sqrt{3\cdot 5-6}+1$ = $\sqrt{15-6}+1$ = $\sqrt{9}+1$ = $3+1$ = $4$

Also 4 = 4

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$; $5$}