Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{32}{x}$ = $2 x$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{32}{x}$	=	$2 x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{32}{x} \cdot x$	=	$2 x \cdot x$
$32$	=	$2 x \cdot x$
$32$	=	$2 x^{2}$

$32$	=	$2 x^{2}$	\| $- 32$ $- 2 x^{2}$
$- 2 x^{2}$	=	$- 32$	\|: $(- 2)$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{20 x - 8}{3 x}$ = $x + 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{20 x - 8}{3 x}$	=	$x + 2$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{20 x - 8}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x + 2 \cdot 3 x$
$20 x - 8$	=	$3 x \cdot x + 6 x$

20 x - 8

=

3 x^{2} + 6 x

|

- 3 x^{2}

- 6 x

$- 3 x^{2} + 14 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 96}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{100}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{100}}{- 6}$ = $\frac{- 14+10}{- 6}$ = $\frac{- 4}{- 6}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{100}}{- 6}$ = $\frac{- 14-10}{- 6}$ = $\frac{- 24}{- 6}$ = $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{2}{3}$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x + 5$ = $- \frac{7}{x + 5}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$3 x + 5$	=	$- \frac{7}{x + 5}$	\|⋅( $x + 5$ )
$3 x \cdot (x + 5) + 5 \cdot (x + 5)$	=	$- \frac{7}{x + 5} \cdot (x + 5)$
$3 x (x + 5) + 5 x + 25$	=	$- 7$
$3 x^{2} + 15 x + 5 x + 25$	=	$- 7$
$3 x^{2} + 20 x + 25$	=	$- 7$

3 x^{2} + 20 x + 25

=

- 7

|

+ 7

$3 x^{2} + 20 x + 32$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{20^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 32}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 384}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{16}}{6}$

x₁ = $\frac{- 20 + \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 20+4}{6}$ = $\frac{- 16}{6}$ = $- \frac{8}{3}$ ≈ -2.67

x₂ = $\frac{- 20 - \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 20-4}{6}$ = $\frac{- 24}{6}$ = $- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{8}{3}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{70}{x^{4}}$ = $- \frac{17}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{70}{x^{4}}$	=	$- \frac{17}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{70}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{17}{x^{3}} \cdot x^{4}$
$x^{2} + 70$	=	$- 17 x$

x^{2} + 70

=

- 17 x

|

+ 17 x

$x^{2} + 17 x + 70$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 70}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 280}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 17+3}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 17-3}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $- 7$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{2 x + 2} - \frac{- 7}{x + 1} - x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

0	=	$- \frac{x}{2 x + 2} + \frac{7}{x + 1} - x$
0	=	$- \frac{x}{2 (x + 1)} + \frac{7}{x + 1} - x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 1)$ weg!

=	$- \frac{x}{2 (x + 1)} + \frac{7}{x + 1} - x$	\|⋅( $2 (x + 1)$ )
=	$- \frac{x}{2 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1)) + \frac{7}{x + 1} \cdot (2 (x + 1)) - x \cdot (2 (x + 1))$
=	$- x + 14 - 2 x (x + 1)$
=	$- 2 x^{2} - 3 x + 14$

0

=

- 2 x^{2} - 3 x + 14

|

+ 2 x^{2}

+ 3 x

- 14

$2 x^{2} + 3 x - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 3+11}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 3-11}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3,5$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $- 9$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $- 9$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$- 9$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- 9 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$- 9 x$
$x^{2} + a + 9 x$	=	0
$x^{2} + 9 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 9 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 9 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -11 würde es funktionieren, denn $- (2 - 11)$ = 9

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 11)$ = $- 22$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -22 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 9 x - 22$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 22)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 88}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 9+13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 9-13}{2}$ = $\frac{- 22}{2}$ = $- 11$

L={ $- 11$ ; $2$ }

42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 9} + \frac{4}{x - 9}$ = $\frac{120}{x^{2} - 81}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 9$ ; $9$ }

\frac{x}{x + 9} + \frac{4}{x - 9}

=

\frac{120}{(x + 9) \cdot (x - 9)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 9) \cdot (x - 9)$ weg!

$\frac{x}{x + 9} + \frac{4}{x - 9}$	=	$\frac{120}{(x + 9) \cdot (x - 9)}$	\|⋅( $(x + 9) \cdot (x - 9)$ )
$\frac{x}{x + 9} \cdot (x + 9) \cdot (x - 9) + \frac{4}{x - 9} \cdot (x + 9) \cdot (x - 9)$	=	$\frac{120}{(x + 9) \cdot (x - 9)} \cdot (x + 9) \cdot (x - 9)$
$x (x - 9) + 4 x + 36$	=	$120 \frac{x + 9}{x + 9}$
$x (x - 9) + 4 x + 36$	=	$120$
$x^{2} - 9 x + 4 x + 36$	=	$120$
$x^{2} - 5 x + 36$	=	$120$

x^{2} - 5 x + 36

=

120

|

- 120

$x^{2} - 5 x - 84$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 84)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 336}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{361}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{361}}{2}$ = $\frac{5+19}{2}$ = $\frac{24}{2}$ = $12$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{361}}{2}$ = $\frac{5-19}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $12$ }

Aufgabenbeispiele von quadratisch

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichung (quadr.) 2

Bruchgl. mit x-Potenzen

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung mit Parameter

42 Bruchgleichungen