Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $a·\left(x+1\right)·\left(x-2\right)$ sein.

Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.

Die Parabel ist nach oben geöffnet, also muss a=$1$ sein.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)\left(x-2\right)$.

Wir können einfach x ausklammern und erhalten so $\text{f(x)}=$ $\left(x+4\right)x$.

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(1|0).

Also muss der Funktionsterm $a·\left(x+1\right)·\left(x-1\right)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|-1).
Es gilt dann ja: f(0)=-1,
also f(0)= $a·\left(0+1\right)·\left(0-1\right)$ = $-a$=-1.

Hieraus ergibt sich a=$1$.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)\left(x-1\right)$.

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(1|0).

Also muss der Funktionsterm $a·\left(x+2\right)·\left(x-1\right)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|1).
Es gilt dann ja: f(-1)=1,
also f(-1)= $a·\left(-1+2\right)·\left(-1-1\right)$ = $-2a$=1.

Hieraus ergibt sich a=$-\frac{1}{2}$.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\left(x+2\right)\left(x-1\right)$.

Jetzt muss der faktorisierte Term eben noch ausmultipliziert werden:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}\left(x+2\right)\left(x-1\right)$

= $-\frac{1}{2}(x·x+x·\left(-1\right)+2·x+2·\left(-1\right))$

= $-\frac{1}{2}(x·x-x+2x-2)$

= $-\frac{1}{2}\left(x^2+x-2\right)$

= $-\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{2}x+1$

Der gesuchte Funktionsterm in der Form f(x) = ax² + bx + c ist somit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{2}x+1$

Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

Für jedes a hat also der Funktionterm $a·\left(x+2\right)·\left(x-2\right)$ genau die gleichen Nullstellen wie $\text{f(x)}=$ $-3x^2+12$.

Wenn wir nun ausmultiplizieren, erkennenn wir, dass a genau der Koeffizient vor den x² bei unserer Originalfunktion sein muss:

$\text{f(x)}=$ $a·\left(x+2\right)·\left(x-2\right)$

= $a·(x·x+x·\left(-2\right)+2·x+2·\left(-2\right))$

= $a·(x·x-2x+2x-4)$

= $a·\left(x^2-4\right)$

Für a = -3 ergibt sich also tatsächlich:

$-3\left(x^2-4\right)$ = $-3x^2+12$ = f(x)

Der gesuchte Funktionsterm in faktorisierter Darstellung ist also: $\text{f(x)}=$ $-3\left(x+2\right)\left(x-2\right)$