Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f '= 0, wir suchen also die Nullstellen der Ableitungsfunktion f '.

Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von f, um eine Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) der Funktion f ' anschauen (hinreichende Bedingung).

Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten Ableitungsfunktion f '.

Wir erkennen bei x = -1 einen VZW in der Funktion f ' von - nach +. Also muss der Graph der Originalfunktion f bei x = -1 einen Tiefpunkt haben.

Wir erkennen bei x = 0 einen VZW in der Funktion f ' von + nach -. Also muss der Graph der Originalfunktion f bei x = 0 einen Hochpunkt haben.

Wir erkennen bei x = 3 einen VZW in der Funktion f ' von - nach +. Also muss der Graph der Originalfunktion f bei x = 3 einen Tiefpunkt haben.

Da Wendestellen immer Extremstellen der Ableitung sind, müssen wir in der Abbildung nur nach den Extremstellen von f ' suchen.

Diese erkennen wir leicht bei x = 0 und x = 2.

Nach dem Monotoniesatz genügt es die Intervalle zu finden, in denen die Ableitungsfunktion f ', positiv bzw. negativ ist.

Wir erkennen: Im Intervall [-6;-4] gilt: f '(x) ≥ 0, also ist f monoton steigend.

Wir erkennen: Im Intervall [-4;-3] gilt: f '(x) ≤ 0, also ist f monoton fallend.

Wir erkennen: Im Intervall [-3;-1] gilt: f '(x) ≥ 0, also ist f monoton steigend.

Wir erkennen: Im Intervall [-1;4] gilt: f '(x) ≤ 0, also ist f monoton fallend.

Wir erkennen: Im Intervall [4;6] gilt: f '(x) ≥ 0, also ist f monoton steigend.

Man erkennt am Graph von f', dass bei x = -1 eine maximale Steigung (m ≈ 4) ist. Dort hat also f'', die Ableitungsfunktion von f', einen Hochpunkt.

Man erkennt am Graph von f '' 2 Extrempunkte, also muss f ''' ( - die Ableitung von f '' - ) mindestens 2 Nullstellen und somit auch mindestens Grad 2 haben.

Weil bei ganzrationalen Funktionen mit jedem Ableiten der Grad um 1 verringert wird, muss der Grad der Originalfunktion f um 3 höher, also f vom Grad 5 sein.

Die Steigung der Tangente an den Graph von f, kurz die Tangentensteigung von f, ist f ', die Ableitung von f.

Da die Gerade g die Steigung -3 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = -3 haben. Es muss also f '(x) = -3 gelten.

Am Schaubild kann man f '(1) = -3 und f '(-1) = -3 ablesen.

Die gesuchten Stellen sind also x₁ = 1 und x₂ = -1.

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(-2) = $-2$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(-2) = -2 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(-2) + f '(-2) = -2 + ( - 2 ) = $-4$.

Wir können der Zeichnung rechts f(1) = 2 entnehmen.

Also gilt h(1) = g(f(1)) = g(2)

g(2) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = g(f(1)) = g(2) = 2.

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 2 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(-1|2), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
2 = g(-1)
Wegen 2 = h(x)= g(f(x))= g(-1) gilt also f(x) = -1.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =-1 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(0|-1) und Q₂(-2|-1), also bei
x₁ = 0 und x₂ = -2

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(0) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(0)) = f($0$).

f($0$) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(0)) = f($0$) = $-3$.

Wir können der Zeichnung rechts f(0) = 0 und g(0) = 0 entnehmen.

Also gilt h(0)= f(0)⋅g(0) = 0⋅0 = 0

Für die Ableitung h'(x) gilt nach der Produktregel h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x)

Also h'(0) = f'(0)⋅g(0) + f(0)⋅g'(0)

Da ja g (in blau gezeichnet) die Tangente an f in x=0 ist, können wir am Graph von g sowohl f'(0) als auch g'(0) als Steigung m=$-2$ der Geraden ablesen, also gilt f'(0) = g'(0) = $-2$.

Somit gilt:
h'(0) = f'(0)⋅g(0) + f(0)⋅g'(0)
= $-2$⋅0 + 0⋅ $\left(-2\right)$
= $0$.

Man erkennt am Graph von f', dass bei x = -2 die geringste Steigung (m ≈ 0) ist. Dort hat also f'', die Ableitungsfunktion von f', einen Tiefpunkt.