Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente
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Zufallsexperiment (einstufig)
Beispiel:
In einer Urne sind 10 blaue, 10 grüne, 6 gelbe und 4 rote Kugeln. Es wird eine Kugel gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit für die gezogene Farbe.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p=
Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 10 + 10 + 6 + 4=30
Hieraus ergibt sich für ...
blau: p= =
grün: p= =
gelb: p= =
rot: p= =
mit Zurücklegen (einfach)
Beispiel:
Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 1 mal eine 6 zu würfeln?
Da ja ausschließlich nach '6er' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '6er' und 'nicht 6er'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"6er": ; "nicht 6er": ;
Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal 6er' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal '6er'
Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:
P=1-P(2 mal '6er')=1- =
Ereignis | P |
---|---|
6er -> 6er | |
6er -> nicht 6er | |
nicht 6er -> 6er | |
nicht 6er -> nicht 6er |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 6er: ; nicht 6er: ;
Die relevanten Pfade sind:- '6er'-'nicht 6er' (P=)
- 'nicht 6er'-'6er' (P=)
- 'nicht 6er'-'nicht 6er' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + =
Ziehen mit Zurücklegen
Beispiel:
Ein Würfel wird zwei mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 5 ist?
Ereignis | P |
---|---|
1 -> 1 | |
1 -> 2 | |
1 -> 3 | |
1 -> 4 | |
1 -> 5 | |
1 -> 6 | |
2 -> 1 | |
2 -> 2 | |
2 -> 3 | |
2 -> 4 | |
2 -> 5 | |
2 -> 6 | |
3 -> 1 | |
3 -> 2 | |
3 -> 3 | |
3 -> 4 | |
3 -> 5 | |
3 -> 6 | |
4 -> 1 | |
4 -> 2 | |
4 -> 3 | |
4 -> 4 | |
4 -> 5 | |
4 -> 6 | |
5 -> 1 | |
5 -> 2 | |
5 -> 3 | |
5 -> 4 | |
5 -> 5 | |
5 -> 6 | |
6 -> 1 | |
6 -> 2 | |
6 -> 3 | |
6 -> 4 | |
6 -> 5 | |
6 -> 6 |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 1: ; 2: ; 3: ; 4: ; 5: ; 6: ;
Die relevanten Pfade sind:- '1'-'4' (P=)
- '4'-'1' (P=)
- '2'-'3' (P=)
- '3'-'2' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + + =
ohne Zurücklegen (einfach)
Beispiel:
In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 2 vom Typ Kreuz, 5 vom Typ Herz, 7 vom Typ Pik und 6 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen?
Ereignis | P |
---|---|
Kreuz -> Kreuz | |
Kreuz -> Herz | |
Kreuz -> Pik | |
Kreuz -> Karo | |
Herz -> Kreuz | |
Herz -> Herz | |
Herz -> Pik | |
Herz -> Karo | |
Pik -> Kreuz | |
Pik -> Herz | |
Pik -> Pik | |
Pik -> Karo | |
Karo -> Kreuz | |
Karo -> Herz | |
Karo -> Pik | |
Karo -> Karo |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Kreuz: ; Herz: ; Pik: ; Karo: ;
Die relevanten Pfade sind:
'Kreuz'-'Kreuz' (P=)
'Herz'-'Herz' (P=)
'Pik'-'Pik' (P=)
'Karo'-'Karo' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + + =
Ziehen ohne Zurücklegen
Beispiel:
In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 4 Könige und 2 Damen. Es werden 2 Karten vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "genau 2 mal Ass"?
Da ja ausschließlich nach 'Ass' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Ass' und 'nicht Ass'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Ass": ; "nicht Ass": ;
Ereignis | P |
---|---|
Ass -> Ass | |
Ass -> nicht Ass | |
nicht Ass -> Ass | |
nicht Ass -> nicht Ass |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: Ass: ; nicht Ass: ;
Die relevanten Pfade sind:
'Ass'-'Ass' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
=
Ziehen bis erstmals x kommt
Beispiel:
In einer Urne sind 6 rote und 2 blaue Kugeln. Es soll (ohne zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 2. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:
P= ⋅
= ⋅
=
nur Summen
Beispiel:
In einer Urne sind 2 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 9 kugel mit einer 2 und 4 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 6 ist?
Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": ; "nicht 3": ;
Ereignis | P |
---|---|
3 -> 3 | |
3 -> nicht 3 | |
nicht 3 -> 3 | |
nicht 3 -> nicht 3 |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 3: ; nicht 3: ;
Die relevanten Pfade sind:
'3'-'3' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
=
Ziehen ohne Zurücklegen
Beispiel:
In einer Urne sind 8 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 9 kugel mit einer 2 und 3 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 6 ist?
Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": ; "nicht 3": ;
Ereignis | P |
---|---|
3 -> 3 | |
3 -> nicht 3 | |
nicht 3 -> 3 | |
nicht 3 -> nicht 3 |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: 3: ; nicht 3: ;
Die relevanten Pfade sind:
'3'-'3' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
=
Kombinatorik (ohne Binom.)
Beispiel:
Ein Vater möchte seinen 3 Kindern Schokolade mitbringen. Für Markus sucht er dessen Lieblingssorte Vollmilch. Davon findet er im Supermarkt 6 verschiedene Marken. Für Torsten möchte er Nußschokolade kaufen. Dafür muss er sich zwischen 6 Marken entscheiden. Maries Lieblingssorte "weiße Schokolade" hat der Supermarkt von 7 Marken. Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt wie der Papa seine 3 Schokoladentafeln zusammenstellen kann.
Für die Kategorie 'Vollmilch' gibt es 6 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 6 Möglichkeiten der Kategorie 'Nuss' kombinieren. Dies ergibt also 6 ⋅ 6 = 36 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 7 Möglichkeiten der Kategorie 'weiß' kombinieren, so dass sich insgesamt 6 ⋅ 6 ⋅ 7 = 252 Möglichkeiten ergeben.
Kombinatorik
Beispiel:
Eine 3-stellige Zahl soll gewürfelt werden. Dabei wird einfach 3 mal mit einem normalen Würfel gewürfelt und die erwürfelten Zahlen hintereinander geschrieben. Wie viele verschiedene Zahlen können so gewürfelt werden.
Bei jedem der 3 'Zufallsversuche' gibt es 6 Möglichkeiten. Dabei ist jedes Ergebnis im ersten 'Durchgang' mit jedem Ergebnis im zweiten Durchgang kombinierbar. Man könnte also alles in einem Baumdiagramm darstellen, das sich in jeder der 3 Ebenen immer 6-fach verzweigt.
Es entstehen so also 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 63 = 216 Möglichkeiten.