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Aufgabenbeispiele von Binomische Formeln

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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
$(2 + b) \cdot (2 - b)$

Man erkennt sofort, dass in beiden Klammern jeweils die gleichen Summanden drin stecken und man somit die

3. binomische Formel: (a+b)(a-b)=a²-b²

anwenden kann.

also $(2 + b) \cdot (2 - b)$ = $2^{2} - {(b)}^{2}$ = $4 - b^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $81 - 9 x^{2}$

Schon alleine an der Anzahl der Summanden (nämlich nur 2) erkennt, dass hier nur die
3. Binomische Formel: (a+b)(a-b)=a²-b²
möglich ist.

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $81$ ) als auch der letzte ( $9 x^{2}$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $9$ und für b dann $3 x$ einsetzen

Und tatsächlich passen auch die Vorzeichen

Das Ergbenis wäre dann also: $(9 + 3 x) \cdot (9 - 3 x)$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also $(9 + 3 x) \cdot (9 - 3 x)$ = $9 \cdot 9 + 9 \cdot (- 3 x) + 3 x \cdot 9 + 3 x \cdot (- 3 x)$ = $81 - 9 x^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $2 t^{2} - 12 t + 18$

$2 t^{2} - 12 t + 18$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $2$ aus.

$2 (t^{2} - 6 t + 9)$

Durch Anwendung der 2. binomischen Formel erhalten wir:

$2 {(t - 3)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + ☐ + 1$

Der hintere Term $1$ muss ja wegen der Binomischen Formel b²=b⋅b, also in diesem Fall ◇⋅◇ sein.

also $1$ = 1⋅1 = ◇⋅◇

somit gilt: ◇=1

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den mittleren Summanden ☐=2ab, also in diesem Fall ☐=2⋅x⋅◇=2⋅x⋅1

somit gilt: ☐= $2 x$