Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=60 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 30 und 38 Treffer bei 60 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.43 zu erzielen, also $P_{0.43}^{60}(30\le X\le 38)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.43}^{60}(X\le 38)$ - $P_{0.43}^{60}(X\le 29)$ ≈ 0.9995 - 0.8328 ≈ 0.1667 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(60,0.43,38)- binomcdf(60,0.43,29)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=45 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 26 Treffer bei 45 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.64 zu erzielen, also $P_{0.64}^{45}(24\le X\le 26)$.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als $P_{0.64}^{45}(X\le 26)$ - $P_{0.64}^{45}(X\le 23)$ ≈ 0.2355 - 0.0518 ≈ 0.1837 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(45,0.64,26)- binomcdf(45,0.64,23)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.1667 ⋅ 0.1837 ≈ 0.0306

Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 3 Treffer bei 7 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $\left(\begin{array}{c}7\\ 3\end{array}\right)$ ⋅ ${0.7}^3$ ⋅ ${0.3}^4$

Dabei gibt ja ${0.7}^3$ ⋅ ${0.3}^4$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 3 Treffer und 4 Nicht-Treffern und $\left(\begin{array}{c}7\\ 3\end{array}\right)$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $\left(\begin{array}{c}7\\ 3\end{array}\right)$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXOOOO

OXXXOOO

OOXXXOO

OOOXXXO

OOOOXXX

Es gibt also genau 5 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 5 ⋅ ${0.7}^3$ ⋅ ${0.3}^4$ ≈ 0.0139

Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=104 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 94 Treffer bei 104 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.81, also $P_{0.81}^{104}(X\le 94)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=104 und p=0.81.

$P_{0.81}^{104}(X\le 94)$ = $P_{0.81}^{104}(X=0)$ + $P_{0.81}^{104}(X=1)$ + $P_{0.81}^{104}(X=2)$ +... + $P_{0.81}^{104}(X=94)$ = 0.99713544505056 ≈ 0.9971
(TI-Befehl: binomcdf(104,0.81,94))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.9971) und 'überbucht'(p=0.0029).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht: $\mathrm{0,9971}$; überbucht: $\mathrm{0,0029}$;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:

• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,9913}$)
• 'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P=$\mathrm{0,0029}$)
• 'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,0029}$)
• 'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P=$\mathrm{0,0029}$)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\mathrm{0,9913}$ + $\mathrm{0,0029}$ + $\mathrm{0,0029}$ + $\mathrm{0,0029}$ = $1$

Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 6 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Sechser-Würfe an. X ist binomialverteilt mit n=6 und p=$\frac{1}{6}$.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{\frac{1}{6}}^6(X\le 0)$ ≈ 0.3349.

Analog betrachten wir nun die restlichen 16 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Sechser-Würfe an. Y ist binomialverteilt mit n=16 und p=$\frac{1}{6}$.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{\frac{1}{6}}^{16}(Y\ge 2)$ = 1- $P_{\frac{1}{6}}^{16}(Y\le 1)$ ≈ 0.7728.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{\frac{1}{6}}^6(X\le 0)$ ⋅ $P_{\frac{1}{6}}^{16}(Y\ge 2)$ = 0.3349 ⋅ 0.7728 ≈ 0.2588