Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element sind zu Beginn der Beobachtung 7g vorhanden. Nach 9 Tagen sind nur noch 4,463g übrig. a) Wie viel g sind noch nach 10 Tagen da? b) Wann sind nur noch 4g davon übrig?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 7 ist, gilt: f(0)= 7, also 7 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $7 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(9)= $7 e^{k \cdot 9}$ = 4,4634.

$7 e^{9 k}$	=	$4,4634$	\|: $7$
$e^{9 k}$	=	$0,6376$	\|ln(⋅)
$9 k$	=	$\ln (0,6376)$	\|: $9$
$k$	=	$\frac{1}{9} \ln (0,6376)$	≈ -0.05

also k ≈ -0.050004905722904, => f(t)= $7 e^{- 0,05 t}$

Wert zur Zeit 10: f(10)= $7 e^{- 0,05 \cdot 10}$ ≈ 4.2

Wann wird der Wert 4?: f(t)=4

$7 e^{- 0,05 t}$	=	$4$	\|: $7$
$e^{- 0,05 t}$	=	$\frac{4}{7}$	\|ln(⋅)
$- 0,05 t$	=	$\ln (\frac{4}{7})$	\|: $- 0,05$
$t$	=	$- \frac{1}{0,05} \ln (\frac{4}{7})$	≈ 11.1923

also t=11.2

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Das neu entdeckte radioaktive Element Gaußium hat eine Halbwertszeit von 201 Tagen. Zu Beginn der Beobachtung sind 17g davon vorhanden. a) Wie viel g Gaußium sind nach 168 Tagen noch da? b) Nach wie vielen Tagen ist noch 11,9g Gaußium da?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 17 ist, gilt: f(0)= 17, also 17 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $17 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{201}$ ≈ -0.0034484934356216

=> f(t)= $17 e^{- 0,0034 t}$

Wert zur Zeit 168: f(168)= $17 e^{- 0,0034 \cdot 168}$ ≈ 9.5

Wann wird der Wert 11.9?: f(t)=11.9

$17 e^{- 0,0034 t}$	=	$11,9$	\|: $17$
$e^{- 0,0034 t}$	=	$0,7$	\|ln(⋅)
$- 0,0034 t$	=	$\ln (0,7)$	\|: $- 0,0034$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0034} \ln (0,7)$	≈ 103.444

also t=103.4

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 4% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 4 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 2 Stunden? b) Wann sind es 5 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 4 ist, gilt: f(0)= 4, also 4 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $4 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.04) ≈ 0.039220713153281

=> f(t)= $4 e^{0,0392 t}$

Wert zur Zeit 2: f(2)= $4 e^{0,0392 \cdot 2}$ ≈ 4.3

Wann wird der Wert 5?: f(t)=5

$4 e^{0,0392 t}$	=	$5$	\|: $4$
$e^{0,0392 t}$	=	$\frac{5}{4}$	\|ln(⋅)
$0,0392 t$	=	$\ln (\frac{5}{4})$	\|: $0,0392$
$t$	=	$\frac{1}{0,0392} \ln (\frac{5}{4})$	≈ 5.6924

also t=5.7

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

An einem wunderschönen Sommertag mit 26°C wird eine Limo aus einem 10° C kalten Kühlschrank geholt. Nach 3 Minuten beträgt die Temperatur der Limo bereits 10,47°.a) Welche Temeratur hat die Limonade nach 4 Minuten? b) Wann ist sie 25°C warm?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=26 sein muss.

Da der Anfangsbestand 10 ist, gilt: f(0)= 10, also 10 = $26 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $26 - c$ = $26 - c$

$10$	=	$26 - c$
$10$	=	$- c + 26$	\| $- 10$ $+ c$
$c$	=	$16$

somit gilt: f(t)= $26 - 16 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(3)= $26 - 16 e^{- k \cdot 3}$ = 10,47.

26 - 16 e^{- 3 k}

=

10,4729

$- 16 e^{- 3 k} + 26$	=	$10,4729$	\| $- 26$
$- 16 e^{- 3 k}$	=	$- 15,5271$	\|: $- 16$
$e^{- 3 k}$	=	$0,9704$	\|ln(⋅)
$- 3 k$	=	$\ln (0,9704)$	\|: $- 3$
$k$	=	$- \frac{1}{3} \ln (0,9704)$	≈ 0.01

also k ≈ 0.010015640450766, => f(t)= $26 - 16 e^{- 0,01 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $26 - 16 e^{- 0,01 \cdot 4}$ ≈ 10.6

Wann wird der Wert 25?: f(t)=25

26 - 16 e^{- 0,01 t}

=

25

$- 16 e^{- 0,01 t} + 26$	=	$25$	\| $- 26$
$- 16 e^{- 0,01 t}$	=	$- 1$	\|: $- 16$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{1}{16}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{1}{16})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{1}{16})$	≈ 277.2589

also t=277.3

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Nach dem Abi vergisst Klaus-Dieter jeden Monat 10% seines Englischwortschatzes. Zum Zeitpunkt des Abiturs betrug dieser noch 2315 Wörter. Aus Langeweile entschließt er sich, wieder regelmäßig jeden Monat 73 Wörter zu lernen. a) Wie groß ist sein englischer Wortschatz nach 15 Monaten? b) Wann beträgt dieser 2294 Wörter ?

Lösung einblenden

Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 73 - 0.1⋅f(t)

wenn man 0.1 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.1( $\frac{73}{0.1}$ - f(t))

also f'(t) = 0.1(730 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=730 und der Wachstumsfaktor k=0.1 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $730 - c \cdot e^{- 0,1 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=2315 ein (Punktprobe).

$2 315$	=	$730 - c$
$2 315$	=	$- c + 730$	\| $- 2 315$ $+ c$
$c$	=	$- 1 585$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $730 + 1 585 e^{- 0,1 x}$

Wert zur Zeit 15: f(15)= $730 + 1 585 e^{- 0,1 \cdot 15}$ ≈ 1083.7

Wann wird der Wert 2294?: f(t)=2294

730 + 1 585 e^{- 0,1 t}

=

2 294

$1 585 e^{- 0,1 t} + 730$	=	$2 294$	\| $- 730$
$1 585 e^{- 0,1 t}$	=	$1 564$	\|: $1 585$
$e^{- 0,1 t}$	=	$\frac{1564}{1585}$	\|ln(⋅)
$- 0,1 t$	=	$\ln (\frac{1564}{1585})$	\|: $- 0,1$
$t$	=	$- \frac{1}{0,1} \ln (\frac{1564}{1585})$	≈ 0.1334

also t=0.1

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $3 e^{0,08 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am postiven Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $0,08$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handeln muss. Somit suchen wir die Verdopplungszeit.

Dazu setzen wir k = $0,08$ einfach in die Formel T_V = $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_V = $\frac{ln(2)}{0,08}$ ≈ 8.664 min

Aufgabenbeispiele von Wachstum

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.