Aufgabenbeispiele von mit Substitution
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Polynomgleichungen (Substitution)
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
= |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:
u = =
Rücksubstitution:
u1: =
= | | | ||
x1 | = |
|
=
|
x2 | = |
|
=
|
u2:
|
= | |
|
|
x3 | = |
|
=
|
x4 | = |
|
=
|
L={
Exponentialgl. Substitution
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
|
= | ||
|
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
|
= |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
u2 =
Rücksubstitution:
u1:
|
= | |ln(⋅) | |
|
= |
|
|: |
x1 | = |
|
≈ 0.8047 |
u2:
|
= |
Diese Gleichung hat keine Lösung!
2. Fall:
|
= |
Diese Gleichung hat keine Lösung!
L={
trigonometrische Gleichung
Beispiel:
Bestimme alle Lösungen im Intervall [0;
|
= |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
u2 =
Rücksubstitution:
u1:
|
= | |
|
1. Fall
|
= |
|
≈
|
|
= |
Diese Gleichung hat keine Lösung!
2. Fall
|
= |
|
≈
|
|
= |
Diese Gleichung hat keine Lösung!
u2:
|
= | |
|
1. Fall
|
= |
|
=
|
|
= | |sin-1(⋅) |
Am Einheitskreis erkennt man sofort:
x1 | = |
|
2. Fall
|
= |
|
=
|
|
= | |sin-1(⋅) |
Am Einheitskreis erkennt man sofort:
x2 | = |
|
L={