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Aufgabenbeispiele von Lineare Gleichungssysteme

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Lösen eines 3x3-LGS (eindeutige Lsg.)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

-3x1 +x2 +4x3 = 3 (I) -6x1 -7x2 +17x3 = -21 (II) 3x1 +8x2 -31x3 = 78 (III)

Lösung einblenden
-3x1 +x2 +4x3 = 3 (I) -6x1 -7x2 +17x3 = -21 (II) 3x1 +8x2 -31x3 = 78 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(I) -1·(II)

1·(I) + 1·(III)

-3x1 1x2 4x3 = 3 (I) ( -6 +6 )x1 +( 2 +7 )x2 +( 8 -17 )x3 = ( 6 +21 ) (II) ( -3 +3 )x1 +( 1 +8 )x2 +( 4 -31 )x3 = ( 3 +78 ) (III)
-3x1 +x2 +4x3 = 3 (I) +9x2 -9x3 = 27 (II) +9x2 -27x3 = 81 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(II) -1·(III)

-3x1 1x2 4x3 = 3 (I) 9x2 -9x3 = 27 (II) +( 9 -9 )x2 +( -9 +27 )x3 = ( 27 -81 ) (III)
-3x1 +x2 +4x3 = 3 (I) +9x2 -9x3 = 27 (II) +18x3 = -54 (III)
Zeile (III): +18x3 = -54

x3 = -3

eingesetzt in Zeile (II):

+9x2 -9·(-3 ) = 27 | -27
9 x2 = 0 | : 9

x2 = 0

eingesetzt in Zeile (I):

-3x1 +(0 ) +4·(-3 ) = 3 | +12
-3 x1 = 15 | : (-3)

x1 = -5

L={(-5 |0 |-3 )}

3x3-LGS BF (versch. Lsg.-mengen)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

-10x1 +x2 -4x3 = -90 (I) 5x1 +4x2 +2x3 = 270 (II) -25x1 -11x2 -10x3 = -899 (III)

Lösung einblenden
-10x1 +x2 -4x3 = -90 (I) 5x1 +4x2 +2x3 = 270 (II) -25x1 -11x2 -10x3 = -899 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(I) + 2·(II)

5·(I) -2·(III)

-10x1 1x2 -4x3 = -90 (I) ( -10 +10 )x1 +( 1 +8 )x2 +( -4 +4 )x3 = ( -90 +540 ) (II) ( -50 +50 )x1 +( 5 +22 )x2 +( -20 +20 )x3 = ( -450 +1798 ) (III)
-10x1 +x2 -4x3 = -90 (I) +9x2 = 450 (II) +27x2 = 1348 (III)

langsame Rechnung einblenden3·(II) -1·(III)

-10x1 1x2 -4x3 = -90 (I) 9x2 = 450 (II) +( 27 -27 )x2 +(0+0)x3 = ( 1350 -1348 ) (III)
-10x1 +x2 -4x3 = -90 (I) +9x2 = 450 (II) 0 = 2 (III)
Wegen des Widerspruchs in der 3-ten Zeile hat das LGS eine leere Lösungsmenge!

3x3-LGS (mit Parameter rechts)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

4x1 +3x2 +4x3 = 20 (I) -4x1 -1x2 -2x3 = -12 (II) 8x1 +10x2 +24x3 = 48r +56 (III)

Lösung einblenden
4x1 +3x2 +4x3 = 20 (I) -4x1 -1x2 -2x3 = -12 (II) 8x1 +10x2 +24x3 = 48r +56 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(I) + 1·(II)

2·(I) -1·(III)

4x1 3x2 4x3 = 20 (I) ( 4 -4 )x1 +( 3 -1 )x2 +( 4 -2 )x3 = ( 20 -12 ) (II) ( 8 -8 )x1 +( 6 -10 )x2 +( 8 -24 )x3 = ( 40 + ( -48r -56 ) ) (III)
4x1 +3x2 +4x3 = 20 (I) +2x2 +2x3 = 8 (II) -4x2 -16x3 = -48r -16 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(II) + 1·(III)

4x1 3x2 4x3 = 20 (I) 2x2 2x3 = 8 (II) +( 4 -4 )x2 +( 4 -16 )x3 = ( 16 + ( -48r -16 ) ) (III)
4x1 +3x2 +4x3 = 20 (I) +2x2 +2x3 = 8 (II) -12x3 = -48 r (III)
Zeile (III): -12x3 = -48 r

x3 = 4 r

eingesetzt in Zeile (II):

+2x2 +2·(4 r ) = 8
+2x2 +8 r = 8 | +-8 r
2 x2 = -8r +8 | : 2

x2 = -4r +4

eingesetzt in Zeile (I):

4x1 +3·( -4r +4 ) +4·(4 r ) = 20
4x1 + ( -12r +12 ) +16 r = 20 | -4r -12
4 x1 = -4r +8 | : 4

x1 = -r +2

L={( -r +2 | -4r +4 |4 r )}

Schnittpunkt zweier Geraden

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Im Schaubild sieht man zwei Geraden. Dummerweise ist der Schnittpunkt außerhalb des Schaubild.
Deswegen muss man diesen eben berechnen. Lies dazu erst die beiden Funktionsterme aus dem Schaubild.

Lösung einblenden

Da die die beiden Geraden an ihrem Schnittpunkt auch den gleichen y-Wert haben müssen, können wir die Terme einfach gleichsetzen um den gemeinsamen x-Wert zu erhalten:

x -1 = 3 4 x +2 | +1
x = 3 4 x +3 |⋅ 4
4x = 3x +12 | -3x
x = 12

L={ 12 }

Damit haben wir den x-Wert des Schnittpunkts. Diesen müssen wir nun noch links oder rechts einsetzen um den y-Wert des Schnittpunkts zu erhalten:

12 -1 = 11 oder 3 4 ⋅12 +2 = 11

Wir erhalten also den Schnittpunkt S(12 | 11 ).