= $\pi$ ${\left[\frac{1}{9}{\left(3x+1\right)}^3\right]}_{-1}^2$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot 2+1\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(3\cdot \left(-1\right)+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot {\left(6+1\right)}^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(-3+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 7^3-\frac{1}{9}\cdot {\left(-2\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{9}\cdot 343-\frac{1}{9}\cdot \left(-8\right)\right)$

= $\pi ·\left(\frac{343}{9}+\frac{8}{9}\right)$

= $\pi ·39$

= $39\pi$

≈ 122,522

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{7}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(\frac{7}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left({\left(\frac{7}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{7}{{\left(3x+4\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\frac{49}{x^4}-\frac{49}{{\left(3x+4\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{49}{9}{\left(3x+4\right)}^{-3}-\frac{49}{3}{x}^{-3}\right]}_1^4$

= $\pi$ ${\left[\frac{49}{9{\left(3x+4\right)}^3}-\frac{49}{3x^3}\right]}_1^4$

$=$ $\pi ·(\frac{49}{9{\left(3\cdot 4+4\right)}^3}-\frac{49}{3\cdot 4^3}-\left(\frac{49}{9{\left(3\cdot 1+4\right)}^3}-\frac{49}{3\cdot 1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{49}{9{\left(12+4\right)}^3}-\frac{49}{3}\cdot \left(\frac{1}{64}\right)-\left(\frac{49}{9{\left(3+4\right)}^3}-\frac{49}{3}\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{49}{9\cdot {16}^3}-\frac{49}{192}-\left(\frac{49}{9\cdot 7^3}-\frac{49}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{49}{9}\cdot \left(\frac{1}{4096}\right)-\frac{49}{192}-\left(\frac{49}{9}\cdot \left(\frac{1}{343}\right)-\frac{49}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{49}{36864}-\frac{49}{192}-\left(\frac{1}{63}-\frac{49}{3}\right))$

= $\pi ·(\frac{49}{36864}-\frac{9408}{36864}-\left(\frac{1}{63}-\frac{1029}{63}\right))$

= $\pi ·(-\frac{9359}{36864}-1·\left(-\frac{1028}{63}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{9359}{36864}+\frac{1028}{63}\right)$

= $\pi ·\frac{460575}{28672}$

= $\frac{460575}{28672}\pi$

≈ 50,465

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $2x+2-1$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(2x+2-1\right)}^{2}dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{1}{6}{\left(2x+1\right)}^3\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 3+1\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(2\cdot 0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot {\left(6+1\right)}^3-\frac{1}{6}\cdot {\left(0+1\right)}^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 7^3-\frac{1}{6}\cdot 1^3\right)$

= $\pi ·\left(\frac{1}{6}\cdot 343-\frac{1}{6}\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(\frac{343}{6}-\frac{1}{6}\right)$

= $\pi ·57$

= $57\pi$

≈ 179,071