$\text{f(x)}=$ $t{e}^{3x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $t{e}^{3x-5}·3$

= $3t{e}^{3x-5}$

$\text{f(x)}=$ $3t^2{x}^2$

$\text{f'(x)}=$ $6t^{2}x$

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $\left(x-5\right)·e^{2tx}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{2tx}+\left(x-5\right)·e^{2tx}·2t$

= $e^{2tx}+\left(x-5\right)·2t{e}^{2tx}$

= $e^{2tx}+2t\left(x-5\right)·e^{2tx}$

= $e^{2tx}·\left(2tx-10t+1\right)$

= $e^{2tx}·\left(2tx+\left(-10t+1\right)\right)$

= $\left(2tx+\left(-10t+1\right)\right)·e^{2tx}$

In diese Ableitung setzen wir x=$0$ ein:

f'($0$)= $e^{2t\cdot 0}+2t·\left(0-5\right)·e^{2t\cdot 0}$= $-10t+1$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $-59$x+2 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'($0$)= $-10t+1$ soll gleich $-59$ sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $-10t+1$ = $-59$ nach t auf.

Für t= $6$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $\left(-x-3\right)·e^{-3tx}$

$\text{f'(x)}=$ $\left(-1+0\right)·e^{-3tx}+\left(-x-3\right)·e^{-3tx}·\left(-3t\right)$

= $-e^{-3tx}+\left(-x-3\right)·\left(-3t{e}^{-3tx}\right)$

= $-e^{-3tx}-3t\left(-x-3\right)·e^{-3tx}$

= $e^{-3tx}·\left(3tx+9t-1\right)$

= $e^{-3tx}·\left(3tx+9t-1\right)$

= $\left(3tx+9t-1\right)·e^{-3tx}$

In diese Ableitung setzen wir x=$0$ ein:

f'($0$) = $-e^{-3t\cdot 0}-3t·\left(-0-3\right)·e^{-3t\cdot 0}$ = $-1+9t$ = $9t-1$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $8$x+9 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'($0$)= $9t-1$ soll gleich $8$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $9t-1$ = $8$ nach t auf.

Für t= $1$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.