Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 115 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

115 = 64 + 51
= 64 + 32 + 19
= 64 + 32 + 16 + 3
= 64 + 32 + 16 + 2 + 1

= 1⋅64 + 1⋅32 + 1⋅16 + 0⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 115 = (111.0011)₂

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1001.0010)₂ = 0⋅1 + 1⋅2 + 0⋅4 + 0⋅8 + 1⋅16 + 0⋅32 + 0⋅64 + 1⋅128= 146

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1001.0010)₂ = 146

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2(die 2 kommt sowohl in 160 als auch 112 insgesamt 4 mal vor)

Da 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16 in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommt, muss 16 auf jeden Fall ein Teiler von beiden Zahlen sein. Andererseits kann es keinen größeren gemeinsamen Teiler geben, denn sonst müsste ja in diesem größeren gemeinsamen Teiler noch ein weiterer gemeinsamer Primfaktor sein.

Unser größter gemeinsamer Teiler von 160 und 112 ist somit :
ggT(160,112) = 16

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:

3 ⋅ 3(die 3 kommt in 45 insgesamt 2 mal vor)

3 ⋅ 3 ⋅ 5(die 5 kommt in 45 insgesamt 1 mal vor)

3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7(die 7 kommt in 35 insgesamt 1 mal vor)

In 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 315 sind nun alle Primteiler von 45 und alle Primteiler von 35 enthalten. Also ist 315 ein Vielfaches von 45 und 35. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 45 oder 35 fehlen.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 45 und 35 ist somit :
kgV(45,35) = 315

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 74 und 12

also gilt: ggt(74,12)=2

Als Binärzahl

Jede Ziffer im Hexadezimalsystem kann in einen 4-er-Block im Binärsystem umgewandelt werden. Dazu zerlegen wir den Wert einfach als Summe der 2-er-Potenzen 8,4,2 und 1:

(1)₁₆ = 1 = 1 = 1⋅1 = (1)₂

(1)₁₆ = 1 = 1 = 0⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = (0001)₂

(4)₁₆ = 4 = 4 = 0⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = (0100)₂

Diese binären 4-er-Blöcke können dann einfach hintereinander gesetzt werden.

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von (114)₁₆ = (1.0001.0100)₂

Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1.0001.0100)₂ = 0⋅1 + 0⋅2 + 1⋅4 + 0⋅8 + 1⋅16 + 0⋅32 + 0⋅64 + 0⋅128 + 1⋅256= 276

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1.0001.0100)₂ = 276

Wir suchen alle Teiler von 45. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 45 ist, teilen wir 45 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 45 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 45, denn 45 = 1 ⋅ 45, also ist auch 45 ein Teiler.

2 ist kein Teiler von 45, denn 45 = 2 ⋅ 22 + 1.

3 ist Teiler von 45, denn 45 = 3 ⋅ 15, also ist auch 15 ein Teiler.

4 ist kein Teiler von 45, denn 45 = 4 ⋅ 11 + 1.

5 ist Teiler von 45, denn 45 = 5 ⋅ 9, also ist auch 9 ein Teiler.

6 ist kein Teiler von 45, denn 45 = 6 ⋅ 7 + 3.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 7 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 7 ⋅ 7 = 49 > 45, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 45:
1, 3, 5, 9, 15, 45

Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also ⬜2.

Da an der letzten Stelle eine 2 steht, muss an der vorletzten Stelle eine ungerade Zahl (also 1, 3, 5, 7 oder 9) stehen, damit sie durch 4 teilbar ist (weil eben nur 12, 32, 52, 72, 92 durch 4 teilbar sind).

Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

1: Dann wäre die Zahl 1412, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 1 + 2 = 8, also nicht durch 3 teilbar.

3: Dann wäre die Zahl 1432, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 3 + 2 = 10, also nicht durch 3 teilbar.

5: Dann wäre die Zahl 1452, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 5 + 2 = 12, also durch 3 teilbar.

7: Dann wäre die Zahl 1472, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 7 + 2 = 14, also nicht durch 3 teilbar.

9: Dann wäre die Zahl 1492, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 9 + 2 = 16, also nicht durch 3 teilbar.

Die einzige mögliche Ziffer ist also 5.

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 28 bilden:

2 + 26 = 28, dabei ist 26 aber keine Primzahl

3 + 25 = 28, dabei ist 25 aber keine Primzahl

5 + 23 = 28, dabei ist 23 auch eine Primzahl

5 und 23 wären also zwei Primzahlen mit 5 + 23 = 28

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 28 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

28
= 2 ⋅ 14
= 2 ⋅ 2 ⋅ 7