Als Dezimalzahl

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1011.1001)₂ = 1⋅1 + 0⋅2 + 0⋅4 + 1⋅8 + 1⋅16 + 1⋅32 + 0⋅64 + 1⋅128= 185

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1011.1001)₂ = 185

Als Hexadezimalzahl

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(1011)₂ = 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = 11 = (B)₁₆

(1001)₂ = 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 9 = (9)₁₆

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1011.1001)₂ = (B9)₁₆

Wir zerlegen die Zahl 6,6875 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 6,6875 = 6 + 0,6875

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 6 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 6 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

6 = 4 + 2

= 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 6 = (110)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 6 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

6 -> 6:2 = 3 Rest 0, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 0.

6 = 3⋅2 + 0, also 6 = ( 3⋅2 + 0)⋅1 = 3⋅2 + 0⋅1

3 -> 3:2 = 1 Rest 1, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 1.

3 = 1⋅2 + 1, also 6 = ( 1⋅2 + 1)⋅2 + 0⋅1 = 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2²-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 6 = ( 0⋅2 + 1)⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 6 = (110)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,6875 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.6875 -> 0.6875⋅2 = 1.375, da 1.375>1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 1

0.6875⋅$\frac{1}{1}$ = 1.375⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.6875 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0.375⋅$\frac{1}{2}$

0.375 -> 0.375⋅2 = 0.75, da 0.75<1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 0

0.375⋅$\frac{1}{2}$ = 0.75⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.6875 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0.75⋅$\frac{1}{4}$

0.75 -> 0.75⋅2 = 1.5, da 1.5>1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 1

0.75⋅$\frac{1}{4}$ = 1.5⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.6875 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 0.5⋅$\frac{1}{8}$

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{8}$ = 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.6875 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 1⋅$\frac{1}{8}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

Die Binärdarstellung von 0.6875 ist somit 0,1011

Zusammen mit der 6 = (110)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 6,6875 = (110,1011)₂

Wir zerlegen die Zahl 2,046875 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 2,046875 = 2 + 0,046875

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 2 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 2 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

2

= 1⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 2 = (10)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 2 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

2 -> 2:2 = 1 Rest 0, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 0.

2 = 1⋅2 + 0, also 2 = ( 1⋅2 + 0)⋅1 = 1⋅2 + 0⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 2 = ( 0⋅2 + 1)⋅2 + 0⋅1 = 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 2 = (10)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,046875 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.046875 -> 0.046875⋅2 = 0.09375, da 0.09375<1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 0

0.046875⋅$\frac{1}{1}$ = 0.09375⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.046875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0.09375⋅$\frac{1}{2}$

0.09375 -> 0.09375⋅2 = 0.1875, da 0.1875<1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 0

0.09375⋅$\frac{1}{2}$ = 0.1875⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.046875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0.1875⋅$\frac{1}{4}$

0.1875 -> 0.1875⋅2 = 0.375, da 0.375<1 ist, kommt nun an die 2^-3-Stelle eine 0

0.1875⋅$\frac{1}{4}$ = 0.375⋅$\frac{1}{8}$, also ist 0.046875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0.375⋅$\frac{1}{8}$

0.375 -> 0.375⋅2 = 0.75, da 0.75<1 ist, kommt nun an die 2^-4-Stelle eine 0

0.375⋅$\frac{1}{8}$ = 0.75⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$, also ist 0.046875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 0.75⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$

0.75 -> 0.75⋅2 = 1.5, da 1.5>1 ist, kommt nun an die 2^-5-Stelle eine 1

0.75⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ = 1.5⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$, also ist 0.046875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-6-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ = 1⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$, also ist 0.046875 = 0⋅$\frac{1}{2}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{8}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{16}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{32}}$ + 1⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$ + 0⋅$\frac{1}{\mathrm{64}}$

Die Binärdarstellung von 0.046875 ist somit 0,000011

Zusammen mit der 2 = (10)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 2,046875 = (10,0000.11)₂

Darstellung als 32-Bit Kommazahl:

(10,0000.11)₂ = (1,0000.011)₂ ⋅ 2¹ (Normierte Darstellung)

Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!

Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 2.046875 positiv ist.

Wegen der ⋅ 2¹ ist der Exponent ist 1 + 127 (Exzess) = 128, oder eben (1000.0000)₂.

Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:

0 10000000 000.0011.0000.0000.0000.0000

Wir zerlegen die Zahl 4,75 in ihre ganze Zahl (Interger) und ihren Rest als Kommazahl,
also 4,75 = 4 + 0,75

Jetzt wandeln wir ersmal die ganze Integer-Zahl 4 in eine Binärzahl um:

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 4 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

4

= 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 4 = (100)₂

Es hätte auch einen schnelleren Weg gegeben um die Binärdarstellung der ganzen Zahl 4 zu bestimmen:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer halbiert und dann auf den Rest geschaut wird. Dieser Rest wird dann in die entsprechende Binärstelle geschrieben.

4 -> 4:2 = 2 Rest 0, also kommt nun an die 2⁰-Stelle eine 0.

4 = 2⋅2 + 0, also 4 = ( 2⋅2 + 0)⋅1 = 2⋅2 + 0⋅1

2 -> 2:2 = 1 Rest 0, also kommt nun an die 2¹-Stelle eine 0.

2 = 1⋅2 + 0, also 4 = ( 1⋅2 + 0)⋅2 + 0⋅1 = 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1

1 -> 1:2 = 0 Rest 1, also kommt nun an die 2²-Stelle eine 1.

1 = 0⋅2 + 1, also 4 = ( 0⋅2 + 1)⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = 0⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1

So erhalten wir die Binärdarstellung von 4 = (100)₂

Jetzt müssenn wir noch die Nachkommastellen 0,75 in eine binäre Kommazahl umwandeln:

Wir gehen nach dem folgendem Algorithmus vor, dass die Kommazahl immer verdoppelt wird.
Wenn dann das Ergebnis der Verdopplung > 1 ist, kommt eine 1 an die Binärstelle, ansonsten eine 0.

0.75 -> 0.75⋅2 = 1.5, da 1.5>1 ist, kommt nun an die 2^-1-Stelle eine 1

0.75⋅$\frac{1}{1}$ = 1.5⋅$\frac{1}{2}$, also ist 0.75 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 0.5⋅$\frac{1}{2}$

0.5 -> 0.5⋅2 = 1, da 1>1 ist, kommt nun an die 2^-2-Stelle eine 1

0.5⋅$\frac{1}{2}$ = 1⋅$\frac{1}{4}$, also ist 0.75 = 1⋅$\frac{1}{2}$ + 1⋅$\frac{1}{4}$ + 0⋅$\frac{1}{4}$

Die Binärdarstellung von 0.75 ist somit 0,11

Zusammen mit der 4 = (100)₂ von oben ergibt sich somit die binäre Kommazahl 4,75 = (100,11)₂

Darstellung als 32-Bit Kommazahl:

(100,11)₂ = (1,0011)₂ ⋅ 2² (Normierte Darstellung)

Eigentlich müsste man die letzte Binärstelle runden, aber der Einfachheit wegen schneiden wir einfach nur ab!

Das Vorzeichen-Bit ist 0, da 4.75 positiv ist.

Wegen der ⋅ 2² ist der Exponent ist 2 + 127 (Exzess) = 129, oder eben (1000.0001)₂.

Als Mantisse können wir einfach die Bits der normierten Darstellung abschreiben, wobei wir das erste Bit weglassen, da dieses bei der normierten Darstellung ja immer eine 1 ist (hidden bit). Somit erhalten wir:

0 10000001 001.1000.0000.0000.0000.0000

Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:

															(		1	0	0	0	.	1	1	0	0	)2
													+		(		1	1	0	0	.	0	1	0	1	)2
															1					1		1
														(	1		0	1	0	1		0	0	0	1	)2

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0111.0010)₂
zu (1000.1101)₂

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

															(		1	0	0	0	.	1	1	0	1	)2
													+		(		0	0	0	0	.	0	0	0	1	)2
																								1
															(		1	0	0	0		1	1	1	0	)2

Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0001.0110)₂
zu (1110.1001)₂

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

															(		1	1	1	0	.	1	0	0	1	)2
													+		(		0	0	0	0	.	0	0	0	1	)2
																								1
															(		1	1	1	0		1	0	1	0	)2

Jetzt können wir einfach a=(0110.0100)₂ und -b = (1110.1010)₂ addieren:

															(		0	1	1	0	.	0	1	0	0	)2
													+		(		1	1	1	0	.	1	0	1	0	)2
															1		1	1
														(	1		0	1	0	0		1	1	1	0	)2

Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:

(0100.1110)₂

Der zweite Faktor (1110.1000)₂ lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:

																				(		1	0	0	0	)2
																		(	1	0	.	0	0	0	0	)2
																	(	1	0	0	.	0	0	0	0	)2
													+		(		1	0	0	0	.	0	0	0	0	)2
															(		1	1	1	0		1	0	0	0	)2

somit gilt:

(111.0011)₂ ⋅ (1110.1000)₂ = 111.0011 ⋅ (1000.0000 + 100.0000 + 10.0000 + 1000)

Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:

(111.0011)₂ ⋅ (1110.1000)₂ = (11.1001.1000.0000)₂ + (1.1100.1100.0000)₂ + (1110.0110.0000)₂ + (11.1001.1000)₂

Diese 4 Summanden können wir nun schrittweise addieren:

													(	1	1	.	1	0	0	1	.	1	0	0	0	)2
								+		(		1	1	1	0	.	0	1	1	0	.	0	0	0	0	)2
										1		1	1
									(	1		0	0	0	1		1	1	1	1		1	0	0	0	)2

Zu diesem Ergebnis dann die nächste Zahl dazu:

									(	1	.	0	0	0	1	.	1	1	1	1	.	1	0	0	0	)2
							+		(	1	.	1	1	0	0	.	1	1	0	0	.	0	0	0	0	)2
									1					1	1		1
								(	1	0		1	1	1	0		1	0	1	1		1	0	0	0	)2

Zu diesem Ergebnis dann die nächste Zahl dazu:

								(	1	0	.	1	1	1	0	.	1	0	1	1	.	1	0	0	0	)2
					+			(	1	1	.	1	0	0	1	.	1	0	0	0	.	0	0	0	0	)2
								1	1	1		1	1	1	1
							(	1	1	0		1	0	0	0		0	0	1	1		1	0	0	0	)2

Das Ergebnis ist somit: (110.1000.0011.1000)₂

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 115 ⋅ 232 = 26680)

1

0

1

0

1

1

1

1

1

:

1

1

0

1

=

1

1

0

1

1

-

1

1

0

1

1

0

0

0

1

-

1

1

0

1

0

1

0

0

1

-

0

0

0

0

1

0

0

1

1

-

1

1

0

1

0

1

1

0

1

-

1

1

0

1

0

0

0

0

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 351 : 13 = 27)