Da f nur ungerade Hochzahlen hat, ist ihr Schaubild punktsymmetrisch zum Ursprung.

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $\frac{{\left(-x\right)}^3+1}{\left(-x\right)+1}$ = $\frac{-x^3+1}{-x+1}$

Wenn man das mit f(x) = $\frac{x^3+1}{x+1}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $\frac{-x^3+1}{-x+1}$
weder gleich f(x) = $\frac{x^3+1}{x+1}$ noch gleich -f(x) = $-\frac{x^3+1}{x+1}$ = $-\frac{x^3+1}{x+1}$ ist.

Es gilt also: f(-x) ≠ f(x) und f(-x) ≠ -f(x)

Somit liegt bei f keine Symmetrie zum KoSy vor.

Weil für (betragsmäßig) sehr große x-Werte der erste Potenzterm mit dem höchsten Exponent $-2x^2$ immer (betragsmäßig) größere Funktionswerte als die anderen Potenzterme hat, genügt es nur dessen Verhalten für x → ± ∞ zu untersuchen.

x → - ∞

Da der Exponent bei $-2x^2$ gerade ist, hat $x^2$ ein positives Vorzeichen, wenn man was negatives für x einsetzt. Multipliziert mit $-2$ erhalten wir so also ein negatives Vorzeichen:

Somit: x → - ∞ ⇒ $-2x^2$ → $-\infty$

Also gilt auch: x → - ∞ ⇒ $-2x^2+2x-2$ → $-\infty$

x → + ∞

$x^2$ hat natürlich immer ein positives Vorzeichen, wenn man was positives für x einsetzt. Multipliziert mit $-2$ erhalten wir so also ein negatives Vorzeichen:

Somit: x → + ∞ ⇒ $-2x^2$ → $-\infty$

Also gilt auch: x → + ∞ ⇒ $-2x^2+2x-2$ → $-\infty$

Da das Verhalten für x → -∞ und für x → +∞ verschieden ist, muss der Grad einer solchen Funktion ungerade, weil es ja nur bei ungeraden Hochzahlen einen Unterschied macht, ob man postive oder negative Werte für x in eine Potenz einsetzt. Und weil der Grad ja mindestens 4 sind muss nehmen wir am besten 5 als Grad.

Für f(x) = $x^5$ wäre also das Grenzverhalten und der Mindestgrad passend.

f(1) = $1^5$ = 1 ist aber leider nicht -4. Da ja aber das Grenzverhalten nur von der Potenz mit der höchsten Hochzahl abhängt, können wir einfach noch das fehlende -4 -1 = -5 als Absolutglied zu unserem bisherigen Term $x^5$ hinzufügen.

Ein möglicher Funktionsterm wäre somit: $\text{f(x)}=$ $x^5-5$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet