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Aufgabenbeispiele von Verschiebung/Streckung

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Term aus Verschiebung (Streck.) bestimmen

Beispiel:

Der Graph von f mit $f(x) =$ $\sqrt{2 x}$ wird um den Faktor 3 in y-Richtung gestreckt und an der x-Achse gespiegelt.

Bestimme den Funktionsterm g(x) des neuen Graphen.

Lösung einblenden

Die Streckung um den Faktor 3 in y-Richtung erreicht man durch den Koeffizienten 3 vor dem ganzen Funktionsterm.

Die Spiegelung an der x-Achse bekommt man durch ein negatives Vorzeichen bei dem Koeffizienten vor dem Term, also - 3.

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $g(x) =$ $- 3 \sqrt{2 x}$

Verschiebung am Graph erkennen

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph von $f(x) =$ $- 1 + \frac{2}{x^{2}}$ in schwarzer Farbe.
Bestimme den Funktionsterm der Funktion g, deren Graph in rot eingezeichnet ist.

Lösung einblenden

Man kann erkennen, dass der rote Graph in x-Richtung verschoben wurde, und zwar um 3 nach rechts. Der gesuchte Funktionsterm ist also g(x)=f(x-3) = $- 1 + \frac{2}{{(x - 3)}^{2}}$

Verschiebung am Term erkennen

Beispiel:

Beschreibe, wie der Graph von g mit $g(x) =$ $\frac{1}{4} (- 5 (x + 3) + \frac{3}{{(x + 3)}^{3}})$ aus dem Graph von f mit $f(x) =$ $- 5 x + \frac{3}{x^{3}}$ entsteht.

Lösung einblenden

Man erkennt sofort, dass das 'x' in g(x) in f(x) durch (x +3) ersetzt wurde. Das bedeutet, dass in g die Funktionswerte von f von den um 3 größeren x-Werten genommen werden. (Also sind bei gleichen Funktionswerten die x-Werte bei g um 3 kleiner als bei f) Für den Graph bedeutet das, dass er um 3 nach links, bzw. -3 nach rechts in x-Richtung verschoben wird.

Die $\frac{1}{4}$ als Koeffizient vor dem Term bewirkt, dass die Funktionswerte mit dem Faktor $\frac{1}{4}$ multipliziert werden. Dadurch wird der Graph um $\frac{1}{4}$ gestreckt.