Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der begangenen GeSchwa-Fehler an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.25 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\le 30)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 25% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{30}}{\mathrm{0.25}}$ ≈ 120 Versuchen auch ungefähr 30 (≈0.25⋅120) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=120:
$P_{0.25}^{\mathrm{n}}(X\le 30)$ ≈ 0.5489 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=107 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen Kugeln mit der Farbe schwarz an. X ist binomialverteilt mit n=28 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_p^{28}(X\le 21)$ = 0.9 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Nenner bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p immer um 5 größer sein muss als der Zähler.

Deswegen erhöhen wir nun schrittweise immer den Zähler und Nenner bei der Einzelwahrscheinlichkeit um 1 und probieren aus, wie sich das auf die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_p^{28}(X\le 21)$ ('höchstens 21 Treffer bei 28 Versuchen') auswirkt (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p=$\frac{4}{9}$. (Durch Ausprobieren erkennt man, dass vorher die Wahrscheinlichkeit immer fast 1 ist)

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=$\frac{9}{14}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 90% bleibt.
Die Anzahl der schwarzen Kugeln, die hinzugefügt wird, darf also höchstens 9 sein.

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Descepticons unter den Taschenrechnern an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.08 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.08}^{\mathrm{n}}(X\le 0)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 8% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{0}{\mathrm{0.08}}$ ≈ 0 Versuchen auch ungefähr 0 (≈0.08⋅0) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=0:
$P_{0.08}^{\mathrm{n}}(X\le 0)$ ≈ 1 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=6 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.75 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\ge 40)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\ge 40)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\ge 40)$ = 1 - $P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ oder $P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 75% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{\mathrm{40}}{\mathrm{0.75}}$ ≈ 53 Versuchen auch ungefähr 40 (≈0.75⋅53) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=53:
$P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ ≈ 0.4579 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=57 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 57 sein, damit $P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\le 39)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.75}^{\mathrm{n}}(X\ge 40)$ ≥ 0.8 gilt.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.16 und n = 95.

Es muss gelten: $P_{0.16}^{95}(X\le \mathrm{k})$ < 0.15

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 11 immer noch weniger als 0.15 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.16}^{95}(X\le 12)$ nimmt mit 22.91% einen Wert über 0.15 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.16}^{95}(X\le \mathrm{k})$ < 0.15 ist somit k = 11.

Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 11 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.06 und n = 18.

Es muss gelten: $P_{0.06}^{18}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.09 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.06}^{18}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.91 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 1 immer noch weniger als 0.91 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.06}^{18}(X\le 2)$ nimmt mit 91.02% einen Wert über 0.91 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.06}^{18}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{0.06}^{18}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.09 ist somit k = 3.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 3 sein.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.08 und n = 14.

Es muss gelten: $P_{0.08}^{14}(X\ge \mathrm{k})$ < 0.05 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{0.08}^{14}(X\le \mathrm{k-1})$ ≥ 0.95 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 2 immer noch weniger als 0.95 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.08}^{14}(X\le 3)$ nimmt mit 97.86% einen Wert über 0.95 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{0.08}^{14}(X\ge \mathrm{k})$ = 1 - $P_{0.08}^{14}(X\le \mathrm{k-1})$ < 0.05 ist somit k = 4.

Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 4 sein.