Pestalozzi Gymnasium Biberach EduRandomtasks

Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{3} x^{3} + \frac{2}{3} x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{3} x^{3} + \frac{2}{3} x^{2}$

$f'(x) =$ $- 2 x^{2} + \frac{4}{3} x$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{4} + 2 x$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=-1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 x^{4} + 2 x$

=> $f'(x) =$ $- 12 x^{3} + 2$

f'(-1) = $- 12 \cdot {(- 1)}^{3} + 2$ = $- 12 \cdot (- 1) + 2$ = $12 + 2$ = $14$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{3} + 5 x) \cdot x^{2}$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $(- 5 x^{3} + 5 x) \cdot x^{2}$

= $- 5 x^{3} \cdot x^{2} + 5 x \cdot x^{2}$

= $- 5 x^{5} + 5 x^{3}$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $- 25 x^{4} + 15 x^{2}$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x - 3) \cdot (- 4 x - 3) - 3 x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $(x - 3) \cdot (- 4 x - 3) - 3 x^{3}$

= $- 4 x^{2} + 9 x + 9 - 3 x^{3}$

= $- 3 x^{3} - 4 x^{2} + 9 x + 9$

$f'(x) =$ $- 9 x^{2} - 8 x + 9$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{4} t x^{4} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{4} t x^{4} + 1$

$f'(x) =$ $- t x^{3} + 0$

= $- t x^{3}$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 4 x$ den Wert 2 hat, also dass f '(x) = 2 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 4 x$

$f'(x) =$ $x^{2} + 3 x + 4$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $x^{2} + 3 x + 4$ = 2.

x^{2} + 3 x + 4

=

2

|

- 2

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} + 3 \cdot (- 2) + 4$ = $2$

f '( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{2} + 3 \cdot (- 1) + 4$ = $2$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 2 x$ parallel zur Geraden y = $- 3 x + 1$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $- 3 x + 1$ hat als Steigung m = -3 und als y-Achsenabschnitt c = $1$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 2 x$

$f'(x) =$ $x - 2$

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir $x - 2$ = -3.

$x - 2$	=	$- 3$	\| $+ 2$
$x$	=	$- 1$

L={ $- 1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 1$ ) = $- 1 - 2$ = $- 3$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x + 9) + 6$ parallel zur Geraden y = $- 2 x + 2$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $\frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x + 9) + 6$

= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 6$

Die Gerade y = $- 2 x + 2$ hat als Steigung m = -2 und als y-Achsenabschnitt c = $2$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 6$

$f'(x) =$ $x^{2} + 3 x + 0$

= $x^{2} + 3 x$

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir $x^{2} + 3 x + 0$ = -2.

x^{2} + 3 x

=

- 2

|

+ 2

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} + 3 \cdot (- 2) + 0$ = $- 2$

f '( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{2} + 3 \cdot (- 1) + 0$ = $- 2$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $t x^{2} - 3 x$ im Punkt (-2|f(-2)) den Wert -11?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{2} - 3 x$

=> $f'(x) =$ $2 t x - 3$

Jetzt setzen wir x = -2 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $2 t \cdot (- 2) - 3$
= $- 4 t - 3$

Dieser Wert soll ja den Wert -11 besitzen, also gilt:

$- 4 t - 3$	=	$- 11$	\| $+ 3$
$- 4 t$	=	$- 8$	\|:( $- 4$ )
$t$	=	$2$

Aufgabenbeispiele von ganzrational

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Ableiten an einem Punkt mit Parameter