Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass eine "6" gewürfelt wird) beträgt p = $\frac{1}{6}$, für einen Nicht-Treffer (also hier, dass keine "6" gewürfelt wird) beträgt sie q = 1 - $\frac{1}{6}$ = $\frac{5}{6}$. Hier gibt es nun mehrere Möglichkeiten, wann der eine Treffer eintritt:

Treffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer (also Treffer im 1-ten Versuch)
NichtTreffer - Treffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer (also Treffer im 2-ten Versuch)
NichtTreffer - NichtTreffer - Treffer - NichtTreffer - NichtTreffer (also Treffer im 3-ten Versuch)
NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - Treffer - NichtTreffer (also Treffer im 4-ten Versuch)
NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - NichtTreffer - Treffer (also Treffer im 5-ten Versuch)

Bei jedem dieser 5 Fälle ist die Wahrscheinlichkeit gleich, nämlich P_k = $\frac{1}{6}·{\left(\frac{5}{6}\right)}^4$.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit aller 5 Fälle gilt somit P = $5·\frac{1}{6}·{\left(\frac{5}{6}\right)}^4$ ≈ 0.4019 .

Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
$\left(\begin{array}{c}7\\ 3\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{7!}}{\mathrm{3!\; \cdot \; (7\; -\; 3)!}}$ = $\frac{\mathrm{7!}}{\mathrm{3!\; \cdot \; 4!}}$ = $\frac{\mathrm{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}{\mathrm{3\cdot 2\cdot 1\; \cdot \; 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
4! = 4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und Nenner kürzen kann, so dass gilt:

$\left(\begin{array}{c}7\\ 3\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{7\cdot 6\cdot 5}}{\mathrm{3\cdot 2\cdot 1}}$

= $\frac{\mathrm{7\cdot 2\cdot 5}}{\mathrm{2\cdot 1}}$ (gekürzt mit 3)

= $\frac{\mathrm{7\cdot 5}}{1}$ (gekürzt mit 2)

= 35

Für die erste Stelle ist jedes Feld möglich. Es gibt also 8 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist das bereits als erstes gewählte Feld nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 7 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 6 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 8⋅7⋅6⋅5⋅4 = 6720 Möglichkeiten, die 8 Möglichkeiten (abgedruckte Felder) auf die 5 "Ziehungen" (angekreuzte Felder) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Feld1 - Feld3 - Feld6 und Feld3 - Feld6 - Feld1 zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 5er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 5er-Gruppe möglich sind.

• Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 5er-Gruppe möglich. Es gibt also 5 Möglichkeiten.
• Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 4 Möglichkeiten.
• Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 3 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 120 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 5er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 6720 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 5er-Gruppen durch die 120 Möglichkeiten, die 5er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich $\frac{\mathrm{6720}}{\mathrm{120}}$ = 56 Möglichkeiten für 5er-Gruppen, die aus 8 Elementen (abgedruckte Felder) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung $\frac{\mathrm{<mn>8</mn><mo>\cdot </mo><mn>7</mn><mo>\cdot </mo><mn>6</mn><mo>\cdot </mo><mn>5</mn><mo>\cdot </mo><mn>4</mn>}}{\mathrm{<mn>5</mn><mo>\cdot </mo><mn>4</mn><mo>\cdot </mo><mn>3</mn><mo>\cdot </mo><mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ könnte man mit 3! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

56 = $\frac{\mathrm{<mn>8</mn><mo>\cdot </mo><mn>7</mn><mo>\cdot </mo><mn>6</mn><mo>\cdot </mo><mn>5</mn><mo>\cdot </mo><mn>4</mn>}}{\mathrm{<mn>5</mn><mo>\cdot </mo><mn>4</mn><mo>\cdot </mo><mn>3</mn><mo>\cdot </mo><mn>2</mn><mo>\cdot </mo><mn>1</mn>}}$ = $\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$ = $\frac{\mathrm{8!}}{\mathrm{5!\; \cdot \; 3!}}$ = $\left(\begin{array}{c}8\\ 5\end{array}\right)$

Es gibt insgesamt $\left(\begin{array}{c}20\\ 8\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{20!}}{\mathrm{8!\; \cdot \; 12!}}$ = $\frac{\mathrm{20\cdot 19\cdot 18\cdot 17\cdot 16\cdot 15\cdot 14\cdot 13}}{\mathrm{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 125970 verschiedene Möglichkeiten, die 8 Kugeln aus den 20 zu ziehen, bzw. von 20 Zahlen 8 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 19 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 8 von 20 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 19 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 7 Kreuze auf 19 Zahlen (alle außer der 19) zu setzen, also $\left(\begin{array}{c}19\\ 7\end{array}\right)$ = $\frac{\mathrm{19!}}{\mathrm{7!\; \cdot \; 12!}}$ = $\frac{\mathrm{19\cdot 18\cdot 17\cdot 16\cdot 15\cdot 14\cdot 13}}{\mathrm{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$ = 50388.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = $\frac{\mathrm{Anzahl\; der\; gewünschten\; Ereignisse}}{\mathrm{Anzahl\; der\; möglichen\; Ereignisse}}$ = $\frac{\mathrm{50388}}{\mathrm{125970}}$ ≈ 0.4, also ca. 40%.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=40 und p=0.65.

$P_{0.65}^{40}(X=22)$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ 22\end{array}\right)\cdot {0.65}^{22}\cdot {0.35}^{18}$=0.053933188948858≈ 0.0539
(TI-Befehl: binompdf(40,0.65,22))

Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

k	P(X = k)	P(X ≤ k)
0	≈ 0.03	≈ 0 + 0.03 = 0.03
1	≈ 0.13	≈ 0.03 + 0.13 = 0.16
2	≈ 0.23	≈ 0.16 + 0.23 = 0.39
3	≈ 0.26	≈ 0.39 + 0.26 = 0.65

Während P(X ≤ 2) = 0.39 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.5 liegt, ist P(X ≤ 3) = 0.65 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 3.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=98 und p=0.4.

$P_{0.4}^{98}(X<41)$ = $P_{0.4}^{98}(X\le 40)$ = $P_{0.4}^{98}(X=0)$ + $P_{0.4}^{98}(X=1)$ + $P_{0.4}^{98}(X=2)$ +... + $P_{0.4}^{98}(X=40)$ = 0.60805102977122 ≈ 0.6081
(TI-Befehl: binomcdf(98,0.4,40))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=89 und p=$\frac{1}{6}$.

...

$P_{\frac{1}{6}}^{89}(X>5)$ = $P_{\frac{1}{6}}^{89}(X\ge 6)$ = 1 - $P_{\frac{1}{6}}^{89}(X\le 5)$ = 0.9984
(TI-Befehl: 1-binomcdf(89,$\frac{1}{6}$,5))

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=76 und p=0.5.

$P_{0.5}^{76}(34\le X\le 41)$ =

...

$P_{0.5}^{76}(X\le 41)$ - $P_{0.5}^{76}(X\le 33)$ ≈ 0.7889 - 0.1509 ≈ 0.638
(TI-Befehl: binomcdf(76,0.5,41) - binomcdf(76,0.5,33))