Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2x^2+4x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $4x+4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $4\cdot \left(-2\right)+4$

= $-8+4$

= $-4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $2\cdot {\left(-2\right)}^2+4\cdot \left(-2\right)$ = $2\cdot 4-8$ = $8-8$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $-4$⋅( $-2$) + c

0 = $8$ + c | $-8$

$-8$ = c

also c= $-8$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-4$⋅x $-8$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{4}{3}{x}^3+4x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $4x^2+4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $4\cdot 2^2+4$

= $4\cdot 4+4$

= $16+4$

= $20$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $20$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{4}{3}\cdot 2^3+4\cdot 2$ = $\frac{4}{3}\cdot 8+8$ = $\frac{32}{3}+8$ = $\frac{32}{3}+\frac{24}{3}$ = $\frac{56}{3}$ ≈ 18.67

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $\frac{56}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{56}{3}$ = $20$⋅ $2$ + c

$\frac{56}{3}$ = $40$ + c | $-40$

$-\frac{64}{3}$ = c

also c= $-\frac{64}{3}$ ≈ -21.33

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $20$⋅x $-\frac{64}{3}$ oder y=20x -21.33

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{9}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^2+x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $\frac{1}{3}\cdot 2^2+2$

= $\frac{1}{3}\cdot 4+2$

= $\frac{4}{3}+2$

= $\frac{4}{3}+\frac{6}{3}$

= $\frac{10}{3}$

≈ 3.33

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{3}{10}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{3}{10}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{1}{9}\cdot 2^3+\frac{1}{2}\cdot 2^2$ = $\frac{1}{9}\cdot 8+\frac{1}{2}\cdot 4$ = $\frac{8}{9}+2$ = $\frac{8}{9}+\frac{18}{9}$ = $\frac{26}{9}$ ≈ 2.89

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $\frac{26}{9}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{26}{9}$ = $-\frac{3}{10}$⋅ $2$ + c

$\frac{26}{9}$ = $-\frac{3}{5}$ + c | + $\frac{3}{5}$

$\frac{157}{45}$ = c

also c= $\frac{157}{45}$ ≈ 3.49

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{3}{10}$⋅x + $\frac{157}{45}$ oder y=-0.3x +3.49

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-2|f(-2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2-2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{4}{x}^2-x+0$

f'(-2) = $-\frac{3}{4}\cdot {\left(-2\right)}^2-\left(-2\right)$ = $-\frac{3}{4}\cdot 4+2$ = $-3+2$ = $-1$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-2)) = arctan( $-1$)) ≈ -45°.

Wenn der Steigungswinkel α = -45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-45°) ≈ -1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{14}{x}^4-99x+9$ ab:

f'(x) = $-\frac{2}{7}{x}^3-99$

Es muss gelten:

$-\frac{2}{7}{x}^3-99$	=	$-1$	| $+99$
$-\frac{2}{7}{x}^3$	=	$98$	|⋅ $\left(-\frac{7}{2}\right)$
$x^3$	=	$-343$	|
$x$	=	$-\sqrt[3]{343}$	= $-7$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -7.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^2-x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x-1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-2\cdot \left(-2\right)-1$

= $4-1$

= $3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\left(-2\right)}^2-\left(-2\right)$ = $-4+2$ = $-2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-2$ = $3$⋅( $-2$) + c

$-2$ = $-6$ + c | + $6$

$4$ = c

also c= $4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $3$⋅x + $4$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $3x+4$

$3x+4$	=	0	| $-4$
$3x$	=	$-4$	|:$3$
$x$	=	$-\frac{4}{3}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $-\frac{4}{3}$ ≈ -1.33.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(4|f(4)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $13-\frac{1}{8}{t}^2$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{4}t$

= $-\frac{1}{4}t$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(4)}=$ $-\frac{1}{4}\cdot 4$

= $-1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-1$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(4)}=$ $13-\frac{1}{8}\cdot 4^2$ = $13-\frac{1}{8}\cdot 16$ = $13-2$ = $11$

Wir erhalten so also den Punkt B(4| $11$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$11$ = $-1$⋅4 + c

$11$ = $-4$ + c | + $4$

$15$ = c

also c= $15$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-1$⋅t + $15$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-t+15$

$-t+15$	=	0	| $-15$
$-t$	=	$-15$	|:($-1$)
$t$	=	$15$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $15$.