Wir können insgesamt 11 Sektoren erkennen.

Davon sind 4 eingefärbt.

Es sind also 4 von 11 eingefärbt, somit ist der Bruch: $\frac{4}{11}$

1 min sind ja 60 s.

Also sind eine $\frac{1}{\mathrm{10}}$ min doch gerade 60 s : 10 = 6 s.

Ein $\frac{1}{5}$ von 40 Euro sind 40 : 5 = 8 Euro.

Also sind $\frac{2}{5}$ von 40 Euro 2 ⋅ 8 = 16 Euro.

Zuerst rechnen wir 1km in 1000 m um.

Ein $\frac{1}{2}$ von 1000 m sind 1000 m : 2 = 500 m.

Zuerst rechnen wir 1d(Tage) in 24 h um.

Ein $\frac{1}{3}$ von 24 h sind 24 h : 3 = 8 h.

$\frac{2}{3}$ von 24 h sind also 2 ⋅ 8 h = 16 h.

Beim Erweitern multiplizieren wir einfach Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl 5:

$\frac{3}{4}$ = $\frac{\mathrm{3\; \cdot \; 5}}{\mathrm{4\; \cdot \; 5}}$ = $\frac{15}{20}$

Wir probieren alle Primzahlen durch, ob sie vielleicht beide Teiler von Zähler (6) und Nenner (12) sind:

$\frac{6}{12}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{3}{6}$ $\stackrel{\mathrm{k(3)}}{=}$ $\frac{1}{2}$

$\frac{6}{12}$ = $\frac{1}{2}$

(natürlich hätte man auch gleich auf einmal mit 6 kürzen können).

Der Bruch soll so erweitert werden, dass aus dem alten Nenner 8 nachher der neue Nenner 64 wird.

Wir müssen also mit 64 : 8 = 8 erweitern.

$\frac{11}{8}$ = $\frac{\mathrm{11\; \cdot \; 8}}{\mathrm{8\; \cdot \; 8}}$ = $\frac{88}{64}$

Um einen Bruch als Prozentzahl anzugeben, müssen wir den Nenner des Bruchs durch Erweitern auf 100 bringen:

$\frac{2}{5}$ = $\frac{\mathrm{40}}{\mathrm{100}}$ = 40%

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen -1 und 0 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 3 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{3}$ hat.

Das die Markierung auf dem 1-ten Strichchen liegt, muss im Zähler des gesuchten Bruchs die Zahl 1 stehen.

Da die Markierung links von der 0 liegt, braucht der Bruch noch ein negatives Vorzeichen.

Der gesuchte Bruch ist also: $-\frac{1}{3}$

Zuerst zählen wir die Strichchen zwischen -2 und -3 und erkennen, dass diese Strichchen eine Einheit in 6 gleichgroße Teile unterteilt, von denen somit jedes die Länge $\frac{1}{6}$ hat.

Da die Markierung auf dem 1-ten Strichchen zwischen -2 und -3 liegt, muss der gemischte Bruch $-2\frac{1}{6}$ sein.

Der gesuchte Bruch ist also: $-2\frac{1}{6}$ = $-\frac{12}{6}$ $-\frac{1}{6}$ = $-\frac{13}{6}$

Vergleich von $\frac{5}{8}$ und $\frac{1}{2}$

Da hier die Zähler und Nenner der beiden Brüche verschieden sind, bringen wir am besten die beiden Brüche auf den gleichen Nenner um sie besser vergleichen zu können:

$\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{8}$

Also gilt: $\frac{5}{8}$ > $\frac{4}{8}$ = $\frac{1}{2}$.

Vergleich von $\frac{17}{19}$ und $\frac{16}{19}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Nenner haben. Natürlich ist dann derjenige Bruch größer, der den größeren Zähler hat (Schließlich bleibt bei der größeren Menge mehr übrig, wenn man diese durch 19 teilt, als bei der kleineren, wenn man diese durch 19 teilt). Es gilt hier also $\frac{17}{19}$ > $\frac{16}{19}$

Vergleich von $\frac{4}{3}$ und $\frac{11}{9}$

Da hier die Zähler und Nenner der beiden Brüche verschieden sind, bringen wir am besten die beiden Brüche auf den gleichen Nenner um sie besser vergleichen zu können:

$\frac{4}{3}$ = $\frac{12}{9}$

Also gilt: $\frac{4}{3}$ = $\frac{12}{9}$ > $\frac{11}{9}$.

Da die Nenner gleich sind, genügt es die Mitte zwischen den Zählern der beiden Brüche zu finden.

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 1 und 2.

Wenn wir aber beide Brüche mit 2 erweitern, bleibt ja einerseits der Wert der beiden Brüche gleich, andereseits verdoppeln sich aber die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $\frac{1}{5}$ = $\frac{2}{10}$ und $\frac{2}{5}$ = $\frac{4}{10}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen 2 und 4, nämlich 3, somit ist also $\frac{3}{\mathrm{10}}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{1}{5}$ = $\frac{2}{10}$ und $\frac{2}{5}$ = $\frac{4}{10}$.

Um die Mitte zwischen zwei Brüchen zu finden, müssen wir die beiden Brüche erst einmal auf den gleichen Nenner bringen.

Dazu könnten wir einfach jeweils mit dem Nenner des anderen Bruchs erweitern. Um die Zahlen in Zähler und Nenner aber nicht unnötig groß werden zu lassen, erweitern wir hier die Brüche so, dass das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner, also 4 im neunen Nenner steht:

$\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{4}$ und $\frac{3}{4}$ = $\frac{3}{4}$

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 2 und 3.

Wenn wir aber beide Brüche noch mit 2 erweitern, verdoppeln sich die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $\frac{2}{4}$ = $\frac{4}{8}$ und $\frac{3}{4}$ = $\frac{6}{8}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen 4 und 6, nämlich 5, somit ist also $\frac{5}{8}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{8}$ und $\frac{3}{4}$ = $\frac{6}{8}$.

Als erstes formen wir die Brüche um, so dass wir alle in gemischter Schreibweise vergleichen können:

$\frac{19}{5}$ = $\frac{\mathrm{15\; +\; 4}}{5}$ = $\frac{15}{5}$ + $\frac{4}{5}$ = $3$ + $\frac{4}{5}$ = $3\frac{4}{5}$

$2\frac{4}{5}$

$\frac{11}{3}$ = $\frac{\mathrm{9\; +\; 2}}{3}$ = $\frac{9}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = $3$ + $\frac{2}{3}$ = $3\frac{2}{3}$

Jetzt sieht man sofort, dass $2\frac{4}{5}$ die kleinste Zahl sein muss.

Bleibt noch zu entscheiden, ob $3\frac{2}{3}$ oder $3\frac{4}{5}$ größer ist.
Da ja beide die 3 vorne haben, müssen wir dazu nur die Brüche $\frac{2}{3}$ und $\frac{4}{5}$ betrachten.

Wenn man die Brüche als Anteile sieht, kann man erkennen, dass $\frac{2}{3}$ die kleinere Zahl sein muss.

Oder man erweitert jeweils mit dem anderen Nenner: $\frac{2}{3}$ = $\frac{10}{15}$ < $\frac{12}{15}$ = $\frac{4}{5}$

Somit ergibt sich folgende Reihenfolge:

$2\frac{4}{5}$ < $3\frac{2}{3}$ < $3\frac{4}{5}$ , also

$2\frac{4}{5}$ < $\frac{11}{3}$ < $\frac{19}{5}$

Wir schauen zuerst, wie oft der Nenner in den Zähler passt und was dann noch als Rest übrig bleibt:

27 = 24 + 3 = 6⋅4 + 3

also gilt:

$\frac{27}{4}$ = $\frac{\mathrm{6\cdot 4\; +\; 3}}{4}$ = $\frac{\mathrm{6\cdot 4}}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = 6 + $\frac{3}{4}$

Somit gilt: $\frac{27}{4}$ = $6\frac{3}{4}$