Aufgabenbeispiele von proportional
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Zweisatz
Beispiel:
Herr Tobrak hat einen neuen Handyvertrag abgeschlossen. Für eine Minute telefonieren bezahlt er nun 4 ct.
Wie viel kosten ihn 6 min telefonieren?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 Minuten telefonieren in der ersten Zeile auf 6 Minuten telefonieren in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 6 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 4 ct mit 6 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Minuten telefonieren entspricht:
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⋅ 6
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⋅ 6
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⋅ 6
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⋅ 6
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 Minuten telefonieren entspricht: 24 ct
Zweisatz rückwärts
Beispiel:
Beim Karls Lieblingsobsthändler bekommt man für 12,00 € 4 kg Birnen.
Wie viel kostet 1 kg Birnen?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 4 kg Birnen in der ersten Zeile auf 1 kg Birnen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 12 € durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 kg Birnen entspricht:
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: 4
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: 4
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: 4
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: 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 kg Birnen entspricht: 3,00 €
Einfacher Dreisatz
Beispiel:
Beim Karls Lieblingsobsthändler bekommt man für 18,00 € 9 kg Birnen.
Wie viel kosten 15 kg Birnen?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die kg Birnen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 kg Birnen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 15 sein, also der ggT(9,15) = 3.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 kg Birnen:
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Um von 9 kg Birnen in der ersten Zeile auf 3 kg Birnen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 18 € durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 3 kg Birnen entspricht:
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: 3
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: 3
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: 3
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: 3
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Jetzt müssen wir ja wieder die 3 kg Birnen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 kg Birnen in der dritten Zeile zu kommen.
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: 3
⋅ 5
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: 3
⋅ 5
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Wir müssen somit auch rechts die 6,00 € in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren:
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: 3
⋅ 5
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: 3
⋅ 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 kg Birnen entspricht: 30,00 €
Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 15 km | 105 min |
| ? | ? |
| 18 km | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 15 km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 15 und von 18 sein, also der ggT(15,18) = 3.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 km:
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Um von 15 km in der ersten Zeile auf 3 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 105 min durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 3 km entspricht:
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: 5
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: 5
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(Beim Teilen durch 5 kann man einfach erst verdoppeln und dann durch 10 teilen.)
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: 5
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: 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 3 km in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren, um auf die 18 km in der dritten Zeile zu kommen.
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: 5
⋅ 6
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: 5
⋅ 6
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Wir müssen somit auch rechts die 21 min in der mittleren Zeile mit 6 multiplizieren:
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: 5
⋅ 6
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: 5
⋅ 6
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 18 km entspricht: 126 min
Dreisatz (beide Richtungen)
Beispiel:
Beim Biohof Ökofarm bezahlt Herr Eggestein 2,40 € für 8 Eier.
Wie viel kosten 12 Eier?
Wie viele Eier bekommt er für 3,00 €?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Eier in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 8 Eier teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 8 und von 12 sein, also der ggT(8,12) = 4.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Eier:
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Um von 8 Eier in der ersten Zeile auf 4 Eier in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Somit müssen wir auch die 240 ct durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 Eier entspricht:
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: 2
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: 2
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Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Eier in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 12 Eier in der dritten Zeile zu kommen.
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: 2
⋅ 3
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: 2
⋅ 3
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 12 Eier entspricht: 360 ct
Für die andere Frage (Wie viele Eier bekommt er für 3,00 €?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "ct"-Werte haben und nach einem "Eier"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die ct in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 240 ct teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 240 und von 300 sein, also der ggT(240,300) = 60.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 60 ct:
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Um von 240 ct in der ersten Zeile auf 60 ct in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 4 teilen. Somit müssen wir auch die 8 Eier durch 4 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 60 ct entspricht:
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: 4
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: 4
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Jetzt müssen wir ja wieder die 60 ct in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 300 ct in der dritten Zeile zu kommen.
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: 4
⋅ 5
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: 4
⋅ 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 300 ct entspricht: 10 Eier
Proportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.
Wir überprüfen zuerst, ob die 33 € den 20 kg Äpfel entsprechen.
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: 4
⋅ 5
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: 4
⋅ 5
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Der Wert 33 € war also falsch, richtig wäre 30 € gewesen.
Jetzt überprüfen wir, ob die 60 € den 40 kg Äpfel entsprechen.
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: 2
⋅ 5
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: 2
⋅ 5
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Der Wert 60 € war also korrekt.
